Составители:
Пусть
n
y
−
приближённое значение
y
. Применив формулу Лагранжа, получим
( ) ( )
( )
( ) ( )
, , , ,,
n n n yn
F xy F xy F xy y yF xy
′
= −=−
где
n
y
−
некоторое промежуточное значение между
n
y
и
y
. Отсюда
(
)
( )
,
,
,
n
n
yn
F xy
yy
F xy
= −
′
Причём значение
n
y
нам не известно.
Полагая приближённо
,
nn
yy≈
получим следующую формулу для вычисления
1
:
n
yy
+
≈
( )
( )
1
,
,
n
nn
yn
F xy
yy
F xy
+
= −
′
( )
0,1,2, .n =
(2.25)
Если
( )
,
y
F xy
′
и
( )
,
yy
F xy
′′
существуют и сохраняют постоянные знаки в рассматриваемом интервале,
содержащем корень
( )
yx
, то итерационный процесс сходится к
( )
yx
.
Начальное приближение
( )
0
yx
выбирают так, чтобы оно легко вычислялось и было, по возможности,
близким к истинному значению
( )
yx
.
Процесс итераций продолжается до тех пор, пока в пределах заданной точности два последовательных
значения
1n
y
+
и
n
y
не совпадут между собой, после чего приближённо полагают
( )
1
.
n
yx y
+
≈
1. Вычисление обратной величины. Пусть
( )
1/ 0y xx= >
. Положим
( )
, 1/ 0.F xy x y=−=
Применив формулу (2.25), получим
( )
1
2.
nn n
y y xy
+
= −
(2.26)
Вычисление
1n
y
+
по полученной итерационной формуле (2.26) содержит лишь действия умножения и
вычитания. Таким образом, можно находить 1/x на вычислительных машинах, в которых нет операции
деления. Начальное значение
0
y
выбирается обычно следующим образом. Записывают аргумент
x
в
двоичной системе:
1
2,
m
xx=
где
m −
целое число и
1
1/2 1x
≤<
. Полагают
0
2;
m
y
−
=
при таком выборе начального значения
0
y
сходимость итерационного процесс довольно быстрая.
Замечание. Так как частное
/ab
есть произведение
a
на
1/b
, то деление на машинах, в которых нет
операции деления, можно реализовать в два этапа:
1) Вычисление
1/yb
=
(обратной величины делителя),
2) Умножение
y
на делимое
a
.
ПРИМЕР 2.9. С помощью формулы (2.26) найти значение функции
1/yx
=
при
5x =
с точностью до
4
10
−
.
Решение. Запишем аргумент
x
в виде
3
5
2
8
x = ⋅
. Полагаем
3
0
2 1/8y
−
= =
. По формуле (2.23) будем
иметь
1
1 5 11
2 0,1718,
8 8 64
y
= −==
2
11 55 803
2 0,1960,
64 64 4096
y
= −= =
27
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- …
- следующая ›
- последняя »
