Составители:
(
)
3
0,1960 2 0,9800 0,1960 1,0200 0,19992.y = − =⋅=
Мы видим, что здесь уже третье приближение даёт
( )
0,1999yx≈
с точностью до
4
10
−
.
2. Вычисление квадратного корня. Пусть
(
)
0.
y xx
= >
Преобразуем это уравнение к виду
( )
2
, 0.F xy y x≡ −=
Применяя формулу (2.22), получим
1
1
2
nn
n
x
yy
y
+
= +
( )
0,1,2, .n =
(2.27)
Эта формула называется формулой Герона.
Пусть аргумент
x
записан в двоичной системе:
1
2,
m
xx
=
где
m −
целое число и
1
1/ 2 1.x≤<
Тогда обычно полагают
( )
/2
0
2,
Em
y =
Где
( )
/2Em −
целая часть числа
/2m
.
Итерационный процесс по формуле Герона легко реализуется на машине, имеющей деление в качестве
элементарной операции; при этом процесс итераций сходится при любом выборе
0
0
y >
(в этом примере
легко проверить выполнение указанных выше условий сходимости, так как
20
y
Fy
′
= >
и
20
yy
Fy
′′
= >
).
Если
0,01 1x≤≤
, то за начальное приближение можно брать
0
;
y ax b
= +
соответствующие
коэффициенты
a
и
b
приведены в Таблица 2.4.
Таблица 2.4
Коэффициенты для начального приближения в формуле Герона
Интервал
a
b
Интервал
a
b
( )
0,01;0,02
4,1
0,060
( )
0,18;0,30
1, 0
0,247
(
)
0,02;0,03
3, 2
0,078
( )
0,30;0,60
0,8
0,304
( )
0,03;0,08
2,2
0,110
(
)
0,60;1,00
0,6
0,409
( )
0,08;0,018
1, 4
0,174
При таком выборе начального приближения
0
y
уже вторая итерация
2
y
даёт значение
x
с восемью
десятичными знаками после запятой, причём при вычислении
0
y
можно брать значение
x
лишь с тремя
десятичными знаками.
ПРИМЕР 2.10. Найти
7
с точностью до
5
10
−
.
Р е ш е н и е. Здесь
3
7
72
8
x = = ⋅
. Следовательно, начальное приближение имеет вид
( )
3/2
0
2 2.
E
y = =
28
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- …
- следующая ›
- последняя »
