Краткий курс вычислительной математики. Денисова Э.В - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Тогда кривая y=f(х) будет выпукла вниз и, следовательно, расположена ниже своей хорды АВ. Возможны два
случая: 1) f(а)>0 (рис. 3.3) и 2) f(а)<0 (рис. 3.2).
В первом случае конец а неподвижен и последовательные приближения:
;
( )
( ) ( )
( )
1
n
nn n
n
fx
x x x ax
xa
γγ
+
=−−
−
( 0,1,2...)n =
(3.8)
образуют ограниченную монотонно убывающую последовательность, причем
1 10
... ...
nn
a x x xx
ξ
+
<<< < <<<
Во втором случае неподвижен конец b, а последовательные приближения:
;
(
)
( ) ( )
(
)
1
n
nn n
n
fx
x x bx
bx
γγ
+
=−−
−
(3.9)
образуют ограниченную монотонно возрастающую последовательность, причем
012 1
... ... .
nn
xxx xx b
ξ
+
<< << < <<<
Обобщая эти результаты, заключаем: 1) неподвижен тот конец, для которого знак функции f(x) совпадает со
знаком ее второй производной f"(x); 2) последовательные приближения
лежат по ту сторону корня
ξ
, где
функция f(x) имеет знак, противоположный знаку ее второй производной f"(х). В обоих случаях каждое
следующее приближение
ближе к корню
ξ
, чем предшествующее . Пусть
lim
n
x
n
ξ
→∞
=
(предел существует, так как последовательность {
} ограничена и монотонна). Переходя к пределу в
равенстве (3.8), для первого случая будем иметь:
( )
( )
( )
( )
;
f
a
a
ξ
ξξ ξ
γξ γ
=−−
−
Отсюда
( )
0.f
ξ
=
Так как по предположению уравнение f(x)=0 имеет единственный корень
ξ
на интервале
(а, b), то, следовательно,
ξξ
=
,
что и требовалось доказать.
Совершенно так же переходом к пределу в равенстве (3.9) доказывается, что
ξξ
=
для второго случая.
Для оценки точности приближения можно воспользоваться формулой:
(
)
1
n
n
fx
x
m
ξ
−≤
где
при a x b.
Приведем еще формулу, позволяющую оценивать абсолютную погрешность приближенного значения
,
если известны два последовательных приближения
и
Будем предполагать, что производная f'(х) непрерывна на отрезке [а, b], содержащем все приближения, и
сохраняет постоянный знак, причем
11
0 '( ) .m fx M< ≤ ≤ < +∞
(3.10)
Примем для определенности, что последовательные приближения
точного корня
ξ
вырабатываются по
формуле (3.8) (рассмотрение формулы (3.9) аналогично)
( )
( ) ( )
( )
1
11
1
n
nn n
n
fx
xx x a
xa
γγ
−
−−
=−−
−−
(n= 1, 2, ...), где конец а является неподвижным. Отсюда, учитывая, что
( )
0f
ξ
=
будем иметь:
( ) ( )
1
11
1
( ) ()
( ).
n
n nn
n
fx fa
f fx x x
xa
ξ
−
−−
−
−
−= −
−
Применяя теорему Лагранжа о конечном приращении функции, получим:
11 11
( ) '( ) ( ) '( ),
n n nn n
xf xxfx
ξξ
−− −−
−=−
36

Страницы