Составители:
1.1.3 Метод касательной.
Его отличие от предыдущего метода состоит в том, что на k-й итерации вместо хорды проводится касательная
к кривой у = F(x) при
и ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс. При этом не
обязательно задавать отрезок [а, b], содержащий корень уравнения , а достаточно лишь найти некоторое
начальное приближение корня
(Рисунок 3.4).
Рисунок 3.4
Уравнение касательной, проведенной к кривой у = F(x) в точке с координатами и F( ), имеет вид
0 00
( ) '( )( ).y Fc F c x c−= −
Отсюда найдем следующее приближение корня
как абсциссу точки пересечения касательной с осью х
(у = 0):
10 0 0
()/ '().c c Fc F c= −
Аналогично могут быть найдены и следующие приближения как точки пересечения с осью абсцисс
касательных, проведенных в точках
, и т. д. Формула для k-гo приближения имеет вид
(3.13)
При этом необходимо, чтобы
не равнялась нулю.
Из формулы следует, что на каждой итерации объем вычислений в методе Ньютона больший, чем в
рассмотренных ранее методах, поскольку приходится находить значение не только функции F(x), но и ее
производной. Однако скорость сходимости здесь значительно выше, чем в других методах.
Остановимся на некоторых вопросах, связанных со сходимостью метод Ньютона и его использованием.
Имеет место следующая теорема.
Теорема. Пусть х=с - корень уравнения , т. е. F(c) =0, a F'(c)≠ 0 и F"(x) непрерывна. Тогда существует
окрестность D корня с (с D) такая, что если начальное приближение принадлежит этой окрестности, то
для метода Ньютона последовательность значений сходится к с при . При этом для
погрешности корня имеет место соотношение
2
1
''( )
.
2 '( )
lim
k
k
k
Fc
Fc
ε
ε
→∞
−
=
Фактически это означает, что на каждой итерации погрешность возводится в квадрат, т. е. число верных
знаков корня удваивается. Если
''( )
1,
2 '( )
Fc
Fc
≈
то легко показать, что при пяти-шести итераций достаточно для получения минимально возможной
погрешности при вычислениях с двойной точностью. Действительно, погрешность теоретически станет в
этом случае величиной порядка , что намного меньше, чем максимальная погрешность округления при
вычислениях с двойной точностью, равная . Заметим, что для получения столь малой погрешности в
методе деления отрезка пополам потребовалось бы более 50 итераций.
ПРИМЕР. Для иллюстрации рассмотрим уравнение и найдем методом Ньютона один из его
38
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- …
- следующая ›
- последняя »
