Составители:
корней, например х= с= 0.5. Для данного уравнения F’’(с)/F’(c) = 1. Выберем с
0
= 1, тогда = -0.5.
Проводя вычисления с двойной точностью, получим следующие значения погрешностей:
= -1.25 , = -1.52 , = -5.55 ,
= -1.25 , = -2.32 , = 0.
Таким образом, после шести итераций погрешность в рамках арифметики с двойной точностью исчезла.
Трудность в применении метода Ньютона состоит в выборе начального приближения, которое должно
находиться в окрестности D. При неудачном выборе начального приближения итерации могут расходиться.
ПРИМЕР. Для уравнения arctg х = 0 (корень x= с = 0) при начальном приближении = 1.5 первые шесть
итераций приводят к погрешностям
= 1.69, = 5.11, = 1.58 ,
= -2.32, = -32.3, = -3.89 .
Очевидно, что итерации здесь расходятся.
Для предотвращения расходимости иногда целесообразно использовать смешанный алгоритм. Он состоит в
том, что сначала применяется всегда сходящийся метод (например, метод деления отрезка пополам), а после
некоторого числа итераций — быстро сходящийся метод Ньютона.
1.1.4 Метод простой итерации.
Для использования этого метода исходное нелинейное уравнение записывается в виде
)(xfx =
(3.14)
Пусть известно начальное приближение корня х= . Подставляя это значение в правую часть уравнения
(3.14), получаем новое приближение
Подставляя каждый раз новое значение корня в
)(
xfx =
(3.14), получаем последовательность значений
k =1,2,...
Итерационный процесс прекращается, если результаты двух последовательных итераций близки, т. е. если
выполнено неравенство . Заметим, что в методе простой итерации для невязки,
полученной на k-й итерации, выполнено соотношение
1
() .
k k k kk
c fc c c
γ
+
=−=−
Таким образом, условие малости невязки на k-й итерации оказывается эквивалентным условию близости k-го
и k +1-го приближений.
Достаточное условие сходимости метода простой итерации дается следующей теоремой.
Теорема.
Пусть х=с - корень уравнения
)(x
fx =
(3.14), т. е. с= f(c), а и непрерывна. Тогда
существует окрестность D корня с (с D) такая, что если начальное приближение принадлежит этой
окрестности, то для метода простой итерации последовательность значений { } сходится к с при к .
Метод простой итерации рассмотрен нами для уравнения (3.14). К такому виду можно привести и более
общее уравнение , аналогично тому, как это делалось при решении систем линейных уравнений:
)(
0)(
0)
(
x
Fxx
xF
xF
τ
τ
−
=
=
=
(3.15)
Здесь τ≠0 - некоторое число. Уравнение (3.15 эквивалентно 3.14 функцие f(x) = х - τ F(х). За счет выбора
значения параметра τ можно добиваться сходимости метода простой итерации и повышения скорости
сходимости. Например, если на некотором отрезке, содержащем корень уравнения, производная F'(x)
ограничена константами m и М:
0 < т < F'{x) < М,
то для производной f’(x) будет справедливо неравенство
1- τM<f’(x)<1- τm.
Выбирая τ= 2/(М + m), получаем
г. е. |f'(x)| < 1, что обеспечивает сходимость метода простой итерации.
Параметр τ в (3.15 можно выбирать и переменным, зависящим от
39
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- …
- следующая ›
- последняя »
