Краткий курс вычислительной математики. Денисова Э.В - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

где
11
( ,)
nn
x
ξξ
−−
∈
и
11
( , ).
nn
x ax
−−
∈
Следовательно,
11
1
1
'( ) '( )
.
'( )
nn
n nn
n
fx f
x xx
ξ
ξ
γξ
−−
−
−
−
−= −
(3.11)
Так как f’(x) сохраняет постоянный знак на отрезке [а, b], причем
[ ]
1
,
n
x ab
−
∈
и
[ ]
1
,,
n
ab
ξ
−
∈
очевидно,
имеем:
1 1 11
'( ) '( ) .
nn
fx f M m
ξ
−−
− ≤−
Поэтому из формулы (3.11) выводим:
11
1
1
,
n nn
Mm
x xx
m
ξ
−
−
−≤ −
(3.12)
где за и могут быть взяты соответственно наименьшее и наибольшее значения модуля производной
f'(х) на отрезке [а, b]. Если отрезок [а, b] столь узок, что имеет место неравенство
1 1,
2Mm≤
то из формулы (3.7) получаем:
Таким образом, в этом случае, как только будет обнаружено, что
1
,
nn
xx
ε
−
−<
где
ξ
— заданная предельная абсолютная погрешность, то гарантировано, что
.
n
x
ξε
−<
Пример. Найти положительный корень уравнения
33
( ) 0,2 0,2 1,2 0fxxxx≡− − − =
с точностью до 0,002.
Решение. Прежде всего отделяем корень. Так как
f(1)=-0,6<0 и f(2)=5,6>0,
то искомый корень
ξ
лежит в интервале (1, 2). Полученный интервал велик, поэтому разделим его пополам.
Так как
(1, 5) 1, 425,f
=
1 1, 5.
ξ
<<
Последовательно применяя формулы (1) и (2), будем иметь:
1
0,6
1 (1, 5 1) 1 0,15 1,15;
1,425 0,6
x =+ −=+ =
+
1
( ) 0,173;fx
= −
2
0,173
1,15 (1,5 1,15) 1,15 0,040 1,190;
1,425 0,073
x =+ −=+ =
+
2
( ) 0,036;fx = −
( )
3
0,036
1,190 1,5 1,190 1,190 0,008 1,198;
1,425 0,036
x =+ −=+=
+
3
( ) 0,0072.fx = −
Так как f' (х) = Зx
2
— 0,4х — 0,2 и при x
3
<x<1,5 имеем
2
'( ) 3 0,4 0, 2 3 1, 43 0,8 3,49,fx x x=− −=⋅ −=
то можно принять:
3
0,0072
0 0,002.
3, 49
x
ξ
<− < ≈
Таким образом,
1,198 0,020
ξ
= +
, где
0 1.
θ
<≤
Заметим, что точный корень уравнения (3.10) есть
1, 2.
ξ
=
37

Страницы