Составители:
1
1
1
()
,
'( )
k
kk
k
Fx
xx
Fx
−
−
−
= −
1
01 1 2
( ) ... , '( ) 2 ... .
nn
nn
Fx a ax ax F x a ax nax
−
= + ++ = + ++
Для вычисления значений многочленов F(x) и F'(x) в точке х=x
k-1
может быть использована схема Горнера.
Естественно, при использовании метода Ньютона должны выполняться условия сходимости. При их
соблюдении в результате численного решения получается значение того корня, который находится вблизи
заданного начального приближения x
0
.
Заметим, что для уменьшения погрешностей лучше сначала находить меньшие по модулю корни многочлена
и сразу удалять их из уравнения, приводя его к меньшей степени. Поэтому, если отсутствует информация о
величинах корней, в качестве начальных приближений принимают числа 0, ±1 и т. д.
Комплексные корни.
При использовании компьютера имеется возможность работать с комплексными числами; поэтому
изложенный метод Ньютона может быть использован (с необходимым обобщением) и для нахождения
комплексных корней многочленов. При этом, если в качестве начального приближения ВЗЯТЬ комплексное
число, то последующие приближения и окончательное значение корня могут оказаться комплексными. Ниже
рассмотрим другой подход к отысканию комплексных корней.
Комплексные корни попарно сопряженные, и при их исключении порядок уравнения уменьшается на два,
поскольку оно делится сразу на квадратный трехчлен, т. е.
(3.17)
Линейный остаток равен нулю, если р, q выражаются с помощью найденных корней:
р = - 2с, q = х = с ± id.
Представление (3.17) может быть также использовано для нахождения р, q, а значит, и для определения
корней. Эта процедура лежит в основе метода Лина. Суть этого метода состоит в следующем. Предположим,
что коэффициенты равны нулю. Тогда, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х
многочлена F(x) в выражениях (3.16) и (3.17), можно получить (для упрощения выкладок )
(3.18)
…………
(3.19)
В соотношения (3.19) входят коэффициенты и которые являются функциями p и q. Действительно,
задав значения р и q, из соотношений (3.18) можно последовательно найти и . Поэтому соотношения
(3.19) представляют собой систему двух нелинейных уравнений относительно р и q:
Такая система в методе Лина решается методом простой итерации: задаются начальные приближения для р, q
которые используются для вычисления коэффициентов затем из уравнений (3.19)
уточняются значения р, q. Итерационный процесс вычисления этих величин продолжается до тех пор, пока их
изменения в двух последовательных итерациях не станут малыми.
Широко распространен также другой метод, основанный на выделении квадратичного множителя х
2
+ рх+q,
— метод Бэрстоу. Он использует метод Ньютона для решения системы двух уравнений.
§3 Системы уравнений. Метод простой итерацию. Метод Ньютона.
3.1 Системы уравнений.
Вводные замечания.
Многие практические задачи сводятся к решению системы нелинейных уравнений.
Пусть для вычисления неизвестных требуется решить систему п нелинейных уравнений
112
212
12
( , ,..., ) 0,
( , ,..., ) 0, (15)
...........
( , ,..., ) 0.
n
n
nn
Fxx x
Fxx x
Fxx x
=
=
=
(3.20)
41
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- …
- следующая ›
- последняя »
