Составители:
В векторной форме эту систему можно записать как
F(x) = О,
где
F={ }, x={ }.
В отличие от систем линейных уравнений не существует прямых методов решения нелинейных систем
общего вида. Лишь в отдельных случаях систему (3.20) можно решить непосредственно. Например, для
случая двух уравнений иногда удается выразить одно неизвестное через другое и таким образом свести задачу
к решению одного нелинейного уравнения относительно одного неизвестного.
Для решения систем нелинейных уравнений обычно используются итерационные методы. Ниже будут
рассмотрены некоторые из них: метод простой итерации, метод Зейделя и метод Ньютона.
3.2 Метод простой итерации.
Систему уравнений (3.20) представим в виде
1 112
2 212
12
( , ,..., ),
( , ,..., ), (16)
...........
( , ,..., )
n
n
nn n
x fxx x
x f xx x
x f xx x
=
=
=
(3.21)
Для решения этой системы можно использовать метод простой итерации, аналогичный соответствующему
методу для одного уравнения. Значения неизвестных на k-й итерации будут найдены с использованием их
значений на предыдущей итерации как
nixxxfx
k
n
kk
i
k
i
,,2,1),,,,(
)1()1(
2
)1(
1
)(
==
−−−
(3.22)
Систему (3.21) можно решать и методом Зейденя, напоминающим метод Гаусса-Зейделя решения систем
линейных уравнений. Значение находится из i-го уравнения системы (3.21) с использованием уже
вычисленных на текущей итерации значений неизвестных. Таким образом, значения неизвестных на k-й.
итерации будут находиться не с помощью (3.22), а с помощью соотношения
ni
xxxxf
x
k
n
k
i
k
i
k
i
k
i
,
,2,
1),,,
,,,(
)
1(
)1(
)(
1
)
(
1
)(
==
−−
−
Итерационный процесс в обоих методах продолжается до тех пор, пока изменения всех неизвестных в двух
последовательных итерациях не станут малыми.
При использовании метода простой итерации и метода Зейделя успех во многом определяется удачным
выбором начальных приближений неизвестных: они должны быть достаточно близкими к истинному
решению. В Противном случае итерационный процесс может не сойтись.
3.3 Метод Ньютона.
Этот метод обладает гораздо более быстрой сходимостью, чем метод простой итерации и метод Зейделя. В
случае одного уравнения F(x)= 0 алгоритм метода Ньютона был легко получен путем записи уравнения
касательной к кривой у =F(x). По сути для нахождения нового приближения функция F(x) заменялась
линейной функцией, т. е. раскладывалась в ряд Тейлора, при этом член, содержащий вторую производную,
отбрасывался (как и все последующие члены). Та же идея лежит в основе метода Ньютона для системы
уравнений: функции раскладываются в ряд Тейлора, причем в разложении
отбрасываются члены, содержащие вторые (и более высоких порядков) производные.
Пусть приближенные значения неизвестных системы (3.20), полученные на предыдущей итерации, равны
соответственно Задача состоит в нахождении приращений (поправок) к этим
значениям благодаря которым следующее приближение к решению системы (3.20)
запишется в виде
(3.23)
42
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- …
- следующая ›
- последняя »
