Краткий курс вычислительной математики. Денисова Э.В - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Поскольку в соответствии с (3.20) левые части (3.24) должны обращаться в нуль, приравняем нулю и правые
части, т. е. найдем новое приближение из условия равенства нулю разложений функций Получим
следующую систему линейных алгебраических уравнений относительно приращений:
,
1
1
2
2
1
1
1
1
Fx
x
F
x
x
F
x
x
F
n
n
−=∆
∂
∂
++∆
∂
∂
+∆
∂
∂
,
2
2
2
2
2
1
1
2
Fx
x
F
x
x
F
x
x
F
n
n
−=∆
∂
∂
++∆
∂
∂
+∆
∂
∂
. . . . . . . . . . . .
,
2
2
1
1
nn
n
nnn
Fx
x
F
x
x
F
x
x
F
−=∆
∂
∂
++∆
∂
∂
+
∆
∂
∂
(3.25)
Определителем системы (3.25) является якобиан.
Для существования единственного решения системы (3.25) он должен быть отличным от нуля на каждой
итерации.
Таким образом, итерационный процесс решения системы уравнений (3.20) методом Ньютона состоит в
определении приращений к значениям неизвестных на каждой итерации посредством
решения системы (3.25). В методе Ньютона также важен удачный выбор начального приближения для
обеспечения хорошей сходимости. Сходимость ухудшается с увеличением числа уравнений системы. В
качестве примера рассмотрим использование метода Ньютона для решения системы двух уравнений
, (3.26)
Пусть приближенные значения неизвестных равны а, b. Предположим, что якобиан системы (3.26) при х=а,
у=b отличен от нуля, т. е.
0
22
11
≠
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
y
F
x
F
y
F
x
F
J
Тогда следующие приближения неизвестных можно записать в виде
).(
1
),(
1
1
2
2
1
1
2
2
1
x
F
F
x
F
F
J
by
y
F
F
y
F
F
J
ax
∂
∂
−
∂
∂
+=
∂
∂
−
∂
∂
−=
Величины, стоящие в правых частях, вычисляются при х= а, у= b.
Алгоритм метода Ньютона для решения системы двух уравнений изображен на рис. 3.6. В качестве исходных
данных задаются начальные приближения неизвестных х, у, погрешность и допустимое число итераций М.
В условной конструкции, проверяющей выполнение критерия завершения итерации, используется логическая
операция «и», имеющаяся в современных языках программирования. Если итерации сойдутся, то выводятся
значения х, у; в противном случае — текущие значения х, у и соответствующее сообщение.
44

Страницы