Составители:
12. y' = x +
3
sin
y
; y
0
(1,6) = 4,6;
∈
x
[1,6; 2,6]
13.
y' = x +
10
sin
y
; y
0
(0,6) = 0,8;
∈
x
[0,6; 1,6]
14.
y' = x +
7
sin
y
; y
0
(0,5) = 0,6;
∈
x
[0,5; 1,5]
15.
y' = x +
π
y
sin
; y
0
(1,7) = 5,3;
∈
x
[1,7; 2,7]
16.
y' = x +
8,2
sin
y
; y
0
(1,4) = 2,2;
∈
x
[1,4; 2,4]
17.
y' = x +
e
y
sin
; y
0
(1,4) = 2,5;
∈
x
[1,4; 2,4]
18.
y' = x +
2
sin
y
; y
0
(0,8) = 1,3;
∈
x
[0,8; 1,8]
19. y' = x +
3
sin
y
; y
0
(1,1) = 1,5;
∈
x
[1,1; 2,1]
20.
y' = x +
11
sin
y
; y
0
(0,6) = 1,2;
∈
x
[0,6; 1,6]
2.5Методы Рунге-Кутты
Пусть требуется найти приближенное решение дифференциального уравнения y'=f(x,y), удовлетворяющее
начальному условию y(x
0
)=y
0
. Численное решение задачи состоит в построении приближенного значения y
1
решения уравнения y(x) в точке x
1
=x
0
+ h. Приближенное решение в точке x
0
+h можно вычислить, используя
разложение точного решения в окрестности точки x
0
по формуле Тейлора y(x
0
+h) = y(x
0
)+y'(x
0
)h+...+ y
(n-1)
(x0)h
n-1
+O(h
n
) = y(x0)+h
n
(x
0
,y
0
,h). Расчетные формулы для приближенного решения можно получить,
ограничившись первыми членами разложения: y(x
0
+h) = y
0
+hL(x
0
,y
0
,h), где L(x
0
,y
0
,h) = f(x
0
,y
0
)+...+h
n-1
f
(n-1)
/n!.
Эти формулы содержат производные от правых частей уравнения. Методами Рунге-Кутты называют группу
одношаговых методов, в которых формулы для вычисления L получены из Тейлоровского разложения, но не
содержат производных от правой части f. Наиболее просты для реализации явные методы Рунге- Кутты:
y(x
0
+h) = y
0
+hL(x
0
,y
0
,h), где L(x
0
,y
0
,h) = c
1
k
1
+c
2
k
2
+ ... +c
m
k
m
, k
1
= f(x
0
,y
0
), k
r
= f(x
0
+a
r
h), y(x
0
+h) =
y
0
+h(b
rl
k
l
+...+b
rr-1
k
r-1
) r = 1, 2, ..., m. Коэффициенты расчетных формул подбирают так, чтобы L(0) = L'(0) = ... =
L
(s)
(0) = 0. Такие методы принято называть Метод Рунге-Кутты m-s. Локальная погрешность такого метода
равна O(h
s
). Методы Рунге-Кутты не требуют вычисления дополнительных начальных точек и позволяют
легко менять шаг. Наибольшее распространение получили явные методы Рунге-Кутты четвертого порядка.
2.6 Метод Рунге-Кутты 4-го порядка (4-4)
Пусть требуется найти приближенное решение дифференциального уравнения y'=f(x,y), удовлетворяющее
начальному условию y(x
0
) = y
0
. Численное решение задачи состоит в построении приближенного значения y
1
решения уравнения y(x) в точке x
1
= x
0
+ h. Методом Рунге-Кутты четвертого порядка называют метод Рунге-
Кутты 4-4, в котором приближенное решение в точке x
0
+h вычисляется по формулам: y(x
0
+h) =
y
0
+h(k
1
+2k
2
+2k
3
+k
4
)/6, k
1
= f(x
0
,y
0
), k
2
= f(x
0
+h/2,y
0
+hk
1
/2), k
3
= f(x
0
+h/2,y
0
+hk
2
/2), k
4
= f(x
0
+h/2,y
0
+hk
3
).
Локальная погрешность метода равна O(h
4
).
2.7 Многошаговые методы.
Одним из путей построения разностных схем основан на том, что для вычисления значения
1i
y
+
используются результаты не одного, а
k
предыдущих шагов, т.е. значения
1, 2,...,ik ik i
yy y
−+ −+
. В этом случае
получается
k −
шаговый метод.
Многошаговые методы могут быть построены следующим образом.
Запишем исходное уравнение
(
)
'
,YfxY=
в виде
(
)
(
)
,dY x f x Y dx=
(8.5)
Проинтегрируем обе части этого уравнения по
x
на отрезке
[
]
1
,
ii
x
x
+
. Интеграл от левой части легко
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 116
- 117
- 118
- 119
- 120
- …
- следующая ›
- последняя »
