Основы вычислительной математики. Денисова Э.В - 120 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

()
1123
55 59 37 9
24
ii i i i i
h
yy f f f f
+−−−
=+ − + −
(8.7)
На этапе корректора
()
1112
9195
24
ii i iii
h
yy f fff
++−+
=+ + − +
(8.8)
Явная схема (8.7) используется на каждом шаге один раз, а с помощью неявной схемы (8.8) строится
итерационный процесс вычисления
1i
y
+
,поскольку это значение входит в правую часть выражения
(
)
111
,
iii
f
fx y
+++
=
.
Заметим, что в этих формулах, как и в случае метода Адамса, при вычислении
1i
y
+
необходимы значения
сеточной функции в четырех предыдущих узлах:
123
,,,
ii i i
y
yyy
−
−−
. Следовательно, расчет по этому методу
может быть начат только со значения . Необходимые при этом
123
,,
y
yy находятся по методу Рунге-Кутта,
0
y
задается начальным условием. Это характерная особенность многошаговых методов.
2.8 Метод Адамса
Пусть требуется найти приближенное решение дифференциального уравнения y'=f(x,y), удовлетворяющее
начальному условию y(x
0
) = y
0
. Численное решение задачи состоит в построении приближенного значения y
1
решения уравнения y(x) в точке x
1
= x
0
+ h. Методами Адамса называют группу многошаговых методов, в
которых приближенное решение y
n+1
=y(x
n+1
) в точке x
n+1
=x
0
+h(n+1) вычисляется по формуле, использующей
полином P(x) наименьшей степени, интерполирующий правую часть f(x,y) по значениям f
n
, f
n-1
, ...,f
n-k+1
, f
r
=
f(x
r
,y
r
). Методы, в которых P(x) = P
kn
(x) называют k-шаговыми явными методами Адамса-Башфорта, а методы,
в которых P(x) = P
k+1n+1
- (k+1)- шаговыми неявными методами Адамса-Мултона. Методы Адамса k-гопорядка
требуют предварительного вычисления решения в k начальных точках. Здесь для вычисления
дополнительных начальных значений использован метод Рунге-Кутты 4-4. Локальная погрешность методов
Адамса k-го порядка - O(h
k
). Методы Адамса обладают лучшей, по сравнению с методами Рунге-Кутты
устойчивостью.
Формула со вторыми разностями:
y
i+1 =
y
i
+ q
i
+
2
1
q
i-1
+
12
5
2
q
i-2
, где q
i
= hf(x
i
, y
i
)
Задание: используя метод Адамса со вторыми разностями, составить таблицу приближенных значений
интеграла дифференциального уравнения y′=f(x, y), удовлетворяющего начальным условиям y(x
0
)= y
0
на
отрезке [0, 1]; шаг h=0,1. Все вычисления вести с четырьмя десятичными знаками. Начальный отрезок
определить методом Рунге-Кутта.
Образец: y' = 1 +0,2y*sinx – 1,5y
2
= f(x, y); y(0) = 0, x
∈
[0, 1], h = 0,1.
1. Определим значения y
1
= y(0,1), y
2
= y(0,2) (начальный отрезок) методом Рунге – Кутта. При этом значения
y
i+1
= y(x
i+1),
где x
i+1
= x
i
+ h, находятся по формулам:
y
i+1 =
y
i
+
y
i,
y
i =
),22(
6
1
4321
iiii
kkkk +++
где
i
k
1
= hf(x
i
, y
i
),
i
k
2
= hf(x
i
+
2
h
, y
i
+
2
1
i
k
),
i
k
3
= hf(x
i
+
2
h
, y
i
+
2
2
i
k
),
i
k
4
= hf(x
i
+ h, y
i
+
i
k
3
)
Все вычисления будем располагать в таблице 8.7

Страницы