Составители:
вычисляется:
() ( ) ( )
1
11
i
i
x
iiii
x
dY x Y x Y x y y
+
++
=
−≈−
∫
(8.6)
Для вычисления интеграла от правой части уравнения строится сначала интерполяционный многочлен
1k
P
−
степени
1k −
для аппроксимации функции
(
)
,
f
xY
на отрезке
[
]
1
,
ii
x
x
+
по значениям
()( )
(
)
11 2 2
, , , ,..., , .
ik ik ik ik i i
f
xy fxy fxy
−+ −+ −+ −+
После этого можно написать
() ()
11
1
,
ii
ii
xx
k
xx
f
x Y dx P x dx
++
−
≈
∫∫
.
На основе этой формулы можно строить различные многошаговые методы любого порядка точности.
Порядок точности зависит от степени интерполяционного многочлена
()
1k
Px
−
, для построения которого
используются значения сеточной функции
,1,..., 1ii ik
yy y
−
−+
, вычисленные на
k
предыдущих шагах.
Широко распространенным семейством многошаговых методов являются
методы Адамса. Простейший из
них, получающийся при
1k =
, совпадает с рассмотренным ранее методом Эйлера первого порядка точности.
В практических расчетах чаще всего используется вариант метода Адамса, имеющий четвертый порядок
точности и использующий на каждом шаге результаты предыдущих четырех. Именно его и называют обычно
методом Адамса. Рассмотрим этот метод.
Пусть найдены значения
3, 2, 1,iiii
yyyy
−−−
в четырех последовательных узлах
(4)k =
. При этом имеются
также вычисленные ранее значения правой части
3, 2, 1,iiii
f
fff
−−−
,где
()
,
lll
f
fxy=
. В качестве
интерполяционного многочлена
()
3
Px
можно взять многочлен Ньютона . В случае постоянного шага
конечные разности для правой части в узле имеют вид
1,
2
12,
3
123.
2
33
iii
ii i i
ii i i i
fff
ff f f
f
ff f f
−
−−
−
−−
Δ= −
Δ=− +
Δ=− + −
Тогда разностную схему четвертого порядка метода Адамса можно записать после необходимых
преобразований в виде
Сравнивая метод Адамса с методом Рунге-Кутта той же точности, отмечаем его экономичность, поскольку он
требует вычисления лишь одного значения правой части на каждом шаге (в методе Рунге-Кутта - четырех).
Но метод Адамса неудобен тем
, что невозможно начать счет по одному лишь известному значению
0
y
.
Расчет может быть начат только с узла
3
x
, а не
0
x
. Значения
1, 2, 3,
yyy
необходимые для вычисления
4
y
,
нужно получить каким-либо другим способом (например, методом Рунге-Кутта), что существенно усложняет
алгоритм. Кроме того, метод Адамса не позволяет (без усложнения формул) изменить шаг
h
в процессе
счета; этого недостатка лишены одношаговые методы.
Рассмотрим еще одно семейство многошаговых методов, которые используют неявные схемы, -
методы
прогноза и коррекции
(они называются также методами предиктор-корректор). Суть этих методов состоит в
следующем. На каждом шаге вводятся два этапа, использующих многошаговые методы: с помощью явного
метода (
предиктора) по известным значениям функции в предыдущих узлах находится начальное
приближение
()
0
11ii
yy
++
=
в новом узле; используя неявный метод (корректор), в результате итераций
находятся приближения
()
1
1i
y
+
,
()
2
1i
y
+
,…
Одним из вариантов метода прогноза и коррекции может быть получен на основе метода Адамса четвертого
порядка. Приведем окончательный вид разностных соотношений: на этапе предиктора
23 4
23
1
53
212 8
iii i i
hh h
yyhf f f f
+
=+ + Δ+ Δ+ Δ
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 117
- 118
- 119
- 120
- 121
- …
- следующая ›
- последняя »
