Основные теоретические сведения в курсе высшей математики и математической физики. Линии второго порядка. Деревягина Е.И. - 11 стр.

                                           11
Парабола.


Выберем систему координат, как показано на рис. 8, положив р равным
расстоянию между директрисой и фокусом.




              D




                                         Рис. 8


Тогда соотношение из геометрического определения параболы примет вид:
                                  2
                        ⎛   p⎞    2     p
                        ⎜x − ⎟ + y = x + ,
                        ⎝   2⎠          2
                                      p2                   p2
                       x2 − p x +        + y2 = x2 + p x +    ,
                                      4                    4
                       y 2 = 2 p x.


Обратно, для кривой, определяемой уравнением у2 = 2pх, обозначим через
D прямую y = − p 2 , а через F — точку (р/2, 0). Заметим, что для точек
этой кривой всегда x ≥ 0 , так что для произвольной ее точки Х(х, у) имеем
r(Х, D) = р/2 + х, а
                                                  2
                   ⎛    p⎞         ⎛    p⎞              p     p
       r(X , F ) = ⎜ x − ⎟ + y 2 = ⎜ x − ⎟ + 2 p x = x + = x + ,
                   ⎝    2⎠         ⎝    2⎠              2     2
и геометрическое определение параболы имеет место.