Основные теоретические сведения в курсе высшей математики и математической физики. Линии второго порядка. Деревягина Е.И. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

12
Заметим, что в школе обычно рассматривают параболу у = ах
2
,
расположенную симметрично оси Оу . Сейчас мы рассматриваем
параболу, симметрично расположенную относительно оси Ох и
переобозначаем: а = 1/2р. Число р называется фокальным параметром.
Получаем у
2
= 2рх.
4. Директориальные свойства ЭГП
Определение
. Для каждого фокуса эллипса или гиперболы можно указать
такую прямую, называемую директрисой, что отношение расстояния от
точек этих кривых до фокуса к расстоянию до отвечающей этому фокусу
директрисы есть величина постоянная.
Теорема.
Отношение расстояния от точки ЭГП до фокуса к расстоянию
до соответствующей (ближайшей) директрисы постоянно и равно
эксцентриситету.
Составим следующую таблицу.
уравнение
с
фокус(ы) эксцент-
р
иситет
директриса
эллипс
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
22
bac −=
(
)
0,
2,1
cF
±
=
1<=
a
c
e
c
a
e
a
x
2
±=±=
гипербола
1
2
2
2
2
=−
b
y
a
x
22
baс +=
(
)
0,
2,1
cF
±
=
1>=
a
c
e
c
a
e
a
x
2
±=±=
парабола
xpy 2
2
=
-
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
0,
2
p
F
e= 1
2
p
x −=
Заметим, что для окружности (т. е. эллипса с а = b и е = 0) директрисы не
определены. 
                                                    12
     Заметим, что в школе обычно рассматривают параболу у = ах2,
расположенную симметрично оси Оу . Сейчас мы рассматриваем
параболу,    симметрично                расположенную          относительно     оси    Ох   и
переобозначаем: а = 1/2р. Число р называется фокальным параметром.
Получаем у2 = 2рх.


     4. Директориальные свойства ЭГП


Определение. Для каждого фокуса эллипса или гиперболы можно указать
такую прямую, называемую директрисой, что отношение расстояния от
точек этих кривых до фокуса к расстоянию до отвечающей этому фокусу
директрисы есть величина постоянная.
Теорема. Отношение расстояния от точки ЭГП до фокуса к расстоянию
до соответствующей (ближайшей) директрисы постоянно и равно
эксцентриситету.


     Составим следующую таблицу.


            уравнение                    с          фокус(ы)      эксцент- директриса
                                                                     риситет
                2           2
            x           y                                               c
                                                    F1, 2 = (± c,0 ) e = <1       a   a2
 эллипс             +           =1       2
                                     c = a −b   2
                                                                               x=± =±
            a2          b2                                              a         e   c

             x2         y2               2      2                       c
                                                    F1, 2 = (± c,0 ) e = >1       a   a2
гипербола           −           =1 с = a + b                                   x=± =±
             a2         b2                                              a         e   c

                                                        ⎛p ⎞                           p
парабола        y2 =2 p x                -           F =⎜ ,0⎟        e= 1        x=−
                                                        ⎝2 ⎠                           2


Заметим, что для окружности (т. е. эллипса с а = b и е = 0) директрисы не
определены.

Страницы