Основные теоретические сведения в курсе высшей математики и математической физики. Линии второго порядка. Деревягина Е.И. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

8
Непосредственно из уравнения видно, что эллипс заключен в
прямоугольник, причем на границе его лежат лишь точки пересечения с
осями. Этот прямоугольник со сторонами 2а и 2b называется основным
прямоугольником эллипса (рис.5).
Обратно, пусть точка (х, у) удовлетворяет уравнению (1), т. е.
.
2
2
2
22
x
a
b
by −=
Тогда
()
,
22
2
222
2
2
222
2
22
2
2
2
2222
2
1
x
a
c
aax
a
c
bcxcx
a
c
bcxcx
a
ba
x
a
b
bcxcxycxr
+=+=
=+++=+++
−
=
=−+++=++=
где выражение под знаком модуля положительно, так как
., cx
a
c
ax <<
Аналогично,
.
2
x
a
c
ar −=
Таким образом, для любой точки, удовлетворяющей уравнению (1),
выполняется
,2
21
arr =+
, т. е. она принадлежит геометрическому
эллипсу.
Прежде, чем перейти к случаю гиперболы, дадим следующее определение.
Определение.
Отношение
a
c
e =
называется эксцентриситетом
эллипса (гиперболы).
Для эллипса
a
ba
e
22
−
=
, e< 1,
для гиперболы
a
ba
e
22
+
=
, e> 1. 
                                                      8
Непосредственно             из      уравнения         видно,              что      эллипс      заключен     в
прямоугольник, причем на границе его лежат лишь точки пересечения с
осями. Этот прямоугольник со сторонами 2а и 2b называется основным
прямоугольником эллипса (рис.5).
Обратно, пусть точка (х, у) удовлетворяет уравнению (1), т. е.

                                           2      2       b2
                                          y =b −              2
                                                                  x2.
                                                          a
Тогда

                                                                                b2
           r1 =   (x + c )  2       2       2
                                + y = x + 2c x + c + b −          2         2
                                                                                    2
                                                                                        x2 =
                                                                                a
               a2 − b2          2           2         2           c2
           =          2
                            x + 2c x + c + b              =           2
                                                                          x2 + 2c x + c2 + b2 =
                  a                                               a
               c            c
           =     x + a = a + x,
               a            a
где     выражение            под        знаком        модуля               положительно,         так      как
         c                            c
x < a,     x < c. Аналогично, r2 = a − x.
         a                            a
Таким образом, для любой точки, удовлетворяющей уравнению (1),
выполняется r1 + r2 = 2 a, , т. е. она принадлежит геометрическому
эллипсу.
Прежде, чем перейти к случаю гиперболы, дадим следующее определение.


                                                 c
Определение. Отношение                    e =      называется эксцентриситетом
                                                 a
эллипса (гиперболы).

                                          a2 −b2
                          Для эллипса e =        ,                         e< 1,
                                            a

                                            a2 + b2
                          для гиперболы e =         , e> 1.
                                              a

Страницы