Дифференциальные уравнения. Учебное пособие - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

28§4. õÒÁ×ÎÅÎÉÑ × ÐÏÌÎÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁÈ. éÎÔÅÇÒÉÒÕÀÝÉÊ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ
§4. õÒÁ×ÎÅÎÉÑ × ÐÏÌÎÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁÈ. éÎÔÅÇÒÉÒÕ-
ÀÝÉÊ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ
4.1. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ × ÐÏÌÎÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁÈ
õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁ
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 (31)
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ × ÐÏÌÎÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁÈ, ÅÓÌÉ ÅÇÏ ÌÅ×ÁÑ ÞÁÓÔØ
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÏÌÎÙÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÏÍ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ F (x, y), ÔÏ ÅÓÔØ
∂M
∂y
≡
∂N
∂x
.
þÔÏÂÙ ÒÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (31), ÎÁÄÏ ÎÁÊÔÉ ÆÕÎËÃÉÀ F (x, y), ÐÏÌÎÙÊ ÄÉÆ-
ÆÅÒÅÎÃÉÁÌ ËÏÔÏÒÏÊ ÒÁ×ÅÎ ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (31)
dF (x, y) = F
0
x
dx + F
0
y
dy.
ôÏÇÄÁ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (31) ÍÏÖÎÏ ÎÁÐÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ
F (x, y) = c,
ÇÄÅ c ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÐÏÓÔÏÑÎÎÁÑ.
ðÒÉÍÅÒ 1. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
(2x + 3x
2
y) dx + (x
3
− 3y
2
) dy = 0. (32)
òÅÛÅÎÉÅ. îÁÊÄÅÍ ÞÁÓÔÎÙÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ
∂M
∂y
É
∂N
∂x
:
∂(2x + 3x
2
y)
∂y
= 3x
2
;
∂
∂x
(x
3
− 3y
2
) = 3x
2
.
ôÁË ËÁË
∂M
∂y
=
∂N
∂y
, ÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (32) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ × ÐÏÌÎÙÈ ÄÉÆÆÅ-
ÒÅÎÃÉÁÌÁÈ. îÁÊÄÅÍ F (x, y):
F
0
x
= 2x + 3x
2
y; F
0
y
= x
3
− 3y
2
. (33)
éÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍ ÐÏ x ÐÅÒ×ÏÅ ÉÚ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ (33), ÓÞÉÔÁÑ y ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍ, ×ÍÅÓÔÏ
ÐÏÓÔÏÑÎÎÏÊ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÐÏÓÔÁ×ÉÍ ϕ(y) ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ ÏÔ y
F (x, y) =
Z
(2x + 3x
2
y) dx = x
2
+ x
3
y + ϕ(y).
äÁÌÅÅ ÎÁÊÄÅÍ F
0
y
É ÐÏÄÓÔÁ×ÉÍ ×Ï ×ÔÏÒÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (33)
F
0
y
= x
3
− 3y
2
; ϕ
0
(y) = −3y
2
; ϕ(y) = −3y
2
; ϕ(y) = −y
3
+ const .
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
F (x, y) = x
2
+ x
3
y − y
3
28§4. õÒÁ×ÎÅÎÉÑ × ÐÏÌÎÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁÈ. éÎÔÅÇÒÉÒÕÀÝÉÊ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ

§4. õÒÁ×ÎÅÎÉÑ × ÐÏÌÎÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁÈ. éÎÔÅÇÒÉÒÕ-
    ÀÝÉÊ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ
4.1. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ × ÐÏÌÎÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁÈ

  õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁ
                      M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0                (31)
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ × ÐÏÌÎÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁÈ, ÅÓÌÉ ÅÇÏ ÌÅ×ÁÑ ÞÁÓÔØ
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÏÌÎÙÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÏÍ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ F (x, y), ÔÏ ÅÓÔØ
                               ∂M     ∂N
                                   ≡      .
                                ∂y    ∂x
þÔÏÂÙ ÒÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (31), ÎÁÄÏ ÎÁÊÔÉ ÆÕÎËÃÉÀ F (x, y), ÐÏÌÎÙÊ ÄÉÆ-
ÆÅÒÅÎÃÉÁÌ ËÏÔÏÒÏÊ ÒÁ×ÅÎ ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (31)
                            dF (x, y) = Fx0 dx + Fy0 dy.
ôÏÇÄÁ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (31) ÍÏÖÎÏ ÎÁÐÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ
                                    F (x, y) = c,
ÇÄÅ c ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÐÏÓÔÏÑÎÎÁÑ.
   ðÒÉÍÅÒ 1. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
                       (2x + 3x2y) dx + (x3 − 3y 2) dy = 0.                           (32)
                                                    ∂M       ∂N
  òÅÛÅÎÉÅ. îÁÊÄÅÍ ÞÁÓÔÎÙÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ               ∂y   É   ∂x :

                  ∂(2x + 3x2y)              ∂
                               = 3x2;          (x3 − 3y 2 ) = 3x2.
                       ∂y                   ∂x
ôÁË ËÁË ∂M   ∂N
        ∂y = ∂y , ÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (32) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ × ÐÏÌÎÙÈ ÄÉÆÆÅ-
ÒÅÎÃÉÁÌÁÈ. îÁÊÄÅÍ F (x, y):
                        Fx0 = 2x + 3x2y;    Fy0 = x3 − 3y 2 .                         (33)
éÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍ ÐÏ x ÐÅÒ×ÏÅ ÉÚ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ (33), ÓÞÉÔÁÑ y ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍ, ×ÍÅÓÔÏ
ÐÏÓÔÏÑÎÎÏÊ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÐÏÓÔÁ×ÉÍ ϕ(y) ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ ÏÔ y
                        Z
              F (x, y) = (2x + 3x2y) dx = x2 + x3y + ϕ(y).

äÁÌÅÅ ÎÁÊÄÅÍ Fy0 É ÐÏÄÓÔÁ×ÉÍ ×Ï ×ÔÏÒÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (33)
    Fy0 = x3 − 3y 2;   ϕ0(y) = −3y 2 ;   ϕ(y) = −3y 2;        ϕ(y) = −y 3 + const .
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
                             F (x, y) = x2 + x3y − y 3

Страницы