Дифференциальные уравнения. Учебное пособие - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ 29
É ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ:
x
2
+ x
3
y − y
3
= c.
4.2. éÎÔÅÇÒÉÒÕÀÝÉÊ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ
éÎÔÅÇÒÉÒÕÀÝÉÍ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÍ ÄÌÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 (34)
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁËÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ m(x, y) 6≡ 0, ÐÏÓÌÅ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ËÏÔÏÒÕÀ ÕÒÁ×-
ÎÅÎÉÅ (34) ÐÒÅ×ÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ × ÐÏÌÎÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁÈ. éÎÔÅÇÒÉ-
ÒÕÀÝÉÊ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÅÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÉ M(x, y), N(x, y) ÉÍÅÀÔ ÎÅ-
ÐÒÅÒÙ×ÎÙÅ ÞÁÓÔÎÙÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ É ÎÅ ÏÂÒÁÝÁÀÔÓÑ × ÎÕÌØ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ.
îÏ ÏÂÝÅÇÏ ÍÅÔÏÄÁ ÄÌÑ ÅÇÏ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÎÅÔ. äÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÊ ÍÏÖÎÏ ÐÒÉÍÅÎÉÔØ ÍÅÔÏÄ ×ÙÄÅÌÅÎÉÑ ÐÏÌÎÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÏ×, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ
ÆÏÒÍÕÌÙ
d(xy) = y dx + x dy; dy
2
= 2y dy
d
x
y
=
y dx − x dy
y
2
; d(ln y) =
dy
y
É Ô.Ä.
ðÒÉÍÅÒ 2. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
y dx − (4x
2
y + x) dy = 0. (35)
óÎÁÞÁÌÁ ×ÙÄÅÌÑÅÍ ÇÒÕÐÐÕ ÞÌÅÎÏ×, ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÕÀ ÓÏÂÏÊ ÐÏÌÎÙÊ ÄÉÆ-
ÆÅÒÅÎÃÉÁÌ
y dx − x dy = −x
2
d(y/x).
ôÏÇÄÁ ÄÅÌÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÎÁ −x
2
, ÐÏÌÕÞÉÍ
d
y
x
+ 4y dy = 0, d
y
x
+ d(2y
2
) = 0.
üÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ × ÐÏÌÎÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁÈ. éÎÔÅÇÒÉÒÕÑ, ÐÏÌÕÞÉÍ
y
x
+ 2y
2
= c.
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ
ðÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÄÁÎÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ × ÐÏÌÎÙÈ ÄÉÆÆÅ-
ÒÅÎÃÉÁÌÁÈ, É ÒÅÛÉÔØ ÉÈ:
112. 2xy dy + (x
2
− y
2
) dy = 0;
113. (2 − 9xy
2
) dx + (4y
2
− 6x
3
)y dy = 0;
114. e
−y
dx − (2y + xe
−y
) dy = 0;
115.
y
x
dx + (y
3
+ ln x) dy = 0;
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ                                 29

É ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ:
                             x2 + x3y − y 3 = c.

4.2. éÎÔÅÇÒÉÒÕÀÝÉÊ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ

  éÎÔÅÇÒÉÒÕÀÝÉÍ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÍ ÄÌÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
                       M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0               (34)
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁËÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ m(x, y) 6≡ 0, ÐÏÓÌÅ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ËÏÔÏÒÕÀ ÕÒÁ×-
ÎÅÎÉÅ (34) ÐÒÅ×ÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ × ÐÏÌÎÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁÈ. éÎÔÅÇÒÉ-
ÒÕÀÝÉÊ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÅÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÉ M (x, y), N (x, y) ÉÍÅÀÔ ÎÅ-
ÐÒÅÒÙ×ÎÙÅ ÞÁÓÔÎÙÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ É ÎÅ ÏÂÒÁÝÁÀÔÓÑ × ÎÕÌØ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ.
îÏ ÏÂÝÅÇÏ ÍÅÔÏÄÁ ÄÌÑ ÅÇÏ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÎÅÔ. äÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÊ ÍÏÖÎÏ ÐÒÉÍÅÎÉÔØ ÍÅÔÏÄ ×ÙÄÅÌÅÎÉÑ ÐÏÌÎÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÏ×, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ
ÆÏÒÍÕÌÙ
                 d(xy) = y dx + x dy;     dy 2 = 2y dy
                  
                   x     y dx − x dy             dy
               d       =             ; d(ln y) =     É Ô.Ä.
                   y          y2                  y
  ðÒÉÍÅÒ 2. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
                        y dx − (4x2y + x) dy = 0.                  (35)
  óÎÁÞÁÌÁ ×ÙÄÅÌÑÅÍ ÇÒÕÐÐÕ ÞÌÅÎÏ×, ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÕÀ ÓÏÂÏÊ ÐÏÌÎÙÊ ÄÉÆ-
ÆÅÒÅÎÃÉÁÌ
                         y dx − x dy = −x2 d(y/x).
ôÏÇÄÁ ÄÅÌÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÎÁ −x2 , ÐÏÌÕÞÉÍ
                   y                   y 
                 d      + 4y dy = 0, d        + d(2y 2) = 0.
                    x                     x
üÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ × ÐÏÌÎÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁÈ. éÎÔÅÇÒÉÒÕÑ, ÐÏÌÕÞÉÍ
                                y
                                  + 2y 2 = c.
                                x

úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ

ðÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÄÁÎÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ × ÐÏÌÎÙÈ ÄÉÆÆÅ-
ÒÅÎÃÉÁÌÁÈ, É ÒÅÛÉÔØ ÉÈ:
   112. 2xy dy + (x2 − y 2 ) dy = 0;
   113. (2 − 9xy 2) dx + (4y 2 − 6x3)y dy = 0;
   114. e−y dx − (2y + xe−y ) dy = 0;
   115. xy dx + (y 3 + ln x) dy = 0;

Страницы