Дифференциальные уравнения. Учебное пособие - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§5. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. . . 31
5.1. õÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ y × Ñ×ÎÏÍ ×ÉÄÅ
õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁ y
00
= f(x, y
0
) Ñ×ÎÏ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ y. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ y
0
= p.
ôÏÇÄÁ y
00
= p
0
. ðÏÄÓÔÁ×É× ÜÔÏ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÐÏÌÕÞÉÍ
p
0
= f(x, p).
ðÏÌÕÞÉÌÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. åÇÏ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅ-
ÇÒÁÌ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
y =
Z
p(x, c
1
) dx + c
2
,
ÇÄÅ c
1
, c
2
¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÅ.
ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
(1 + x
2
)y
00
+ xy
0
= 2.
òÅÛÅÎÉÅ. äÁÎÎÏÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ y. ðÏÜÔÏ-
ÍÕ ÄÌÑ ÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÐÏÌÏÖÉÍ y
0
= p. ôÏÇÄÁ y
00
= p
0
. ðÏÄÓÔÁ×ÉÍ × ÄÁÎÎÏÅ
ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
(1 + x
2
)p
0
+ xp = 2.
ïÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÏ×ÏÊ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ p ÐÏÌÕÞÉÌÉ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ.
òÅÛÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÉÝÅÍ × ×ÉÄÅ p = uv, p
0
= u
0
v + uv
0
. ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ×
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ p, p
0
É ÐÒÅÏÂÒÁÚÕÑ ÜÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÐÏÌÕÞÉÍ
(1 + x
2
)u
0
v + [(1 + x
2
)v
0
+ xv]u = 2.
äÁÌÅÅ ÎÁÈÏÄÉÍ v: (1 + x
2
)v
0
+ xv = 0. òÅÛÁÅÍ ÜÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ:
dv
v
= −
x dx
1 + x
2
⇒
Z
dv
v
= −
1
2
Z
d(1 + x
2
)
1 + x
2
⇒
⇒ ln |v| = −
1
2
ln |1 + x
2
| ⇒ v =
1
√
1 + x
2
.
äÁÌÅÅ ÎÁÈÏÄÉÍ u:
p
1 + x
2
u
0
= 2 ⇒ du =
2
√
1 + x
2
dx ⇒
⇒ u = 2
Z
dx
√
1 + x
2
+ c
1
, u = 2 ln |x +
p
1 + x
2
| + c.
ôÅÐÅÒØ ÎÁÈÏÄÉÍ p:
p = [2 ln |x +
p
1 + x
2
| + c
1
]
1
√
1 + x
2
.
§5. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. . .                    31

5.1. õÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ y × Ñ×ÎÏÍ ×ÉÄÅ

  õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁ y 00 = f (x, y 0) Ñ×ÎÏ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ y. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ y 0 = p.
ôÏÇÄÁ y 00 = p0 . ðÏÄÓÔÁ×É× ÜÔÏ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÐÏÌÕÞÉÍ
                                 p0 = f (x, p).
ðÏÌÕÞÉÌÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. åÇÏ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅ-
ÇÒÁÌ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ             Z
                       y = p(x, c1) dx + c2 ,
ÇÄÅ c1 , c2 ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÅ.
   ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
                            (1 + x2)y 00 + xy 0 = 2.
  òÅÛÅÎÉÅ. äÁÎÎÏÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ y. ðÏÜÔÏ-
ÍÕ ÄÌÑ ÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÐÏÌÏÖÉÍ y 0 = p. ôÏÇÄÁ y 00 = p0. ðÏÄÓÔÁ×ÉÍ × ÄÁÎÎÏÅ
ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
                             (1 + x2 )p0 + xp = 2.
ïÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÏ×ÏÊ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ p ÐÏÌÕÞÉÌÉ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ.
òÅÛÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÉÝÅÍ × ×ÉÄÅ p = uv, p0 = u0v + uv 0 . ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ×
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ p, p0 É ÐÒÅÏÂÒÁÚÕÑ ÜÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÐÏÌÕÞÉÍ
                    (1 + x2)u0v + [(1 + x2)v 0 + xv]u = 2.
äÁÌÅÅ ÎÁÈÏÄÉÍ v: (1 + x2)v 0 + xv = 0. òÅÛÁÅÍ ÜÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ:
               dv       x dx         dv     1 d(1 + x2 )
                                  Z           Z
                  =−           ⇒        =−                ⇒
               v       1 + x2         v     2    1 + x2
                               1                     1
                 ⇒ ln |v| = − ln |1 + x2 | ⇒ v = √        .
                               2                   1 + x2
äÁÌÅÅ ÎÁÈÏÄÉÍ u:
                    p                       2
                 1 + x2 u0 = 2 ⇒ du = √           dx ⇒
                                          1 + x 2

                     dx
               Z                                  p
           ⇒u=2 √           + c1 , u = 2 ln |x + 1 + x2| + c.
                    1+x   2

ôÅÐÅÒØ ÎÁÈÏÄÉÍ p:
                                     p                    1
                    p = [2 ln |x +    1 + x 2 | + c1 ] √       .
                                                        1 + x2

Страницы