Дифференциальные уравнения. Учебное пособие - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§5. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. . . 33
òÅÛÅÎÉÅ. äÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ Ñ×ÎÏ x. ðÏÜÔÏÍÕ ÄÌÑ ÅÇÏ ÒÅ-
ÛÅÎÉÑ ÐÏÌÁÇÁÅÍ y
0
= p, ÔÏÇÄÁ y
00
= p
dp
dy
. ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
yp
dp
dy
= p
2
⇒ y
dp
dy
= p (p 6= 0)
¡ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ
dp
p
=
dy
y
⇒
Z
dp
p
=
Z
dy
y
+ ln |c
1
| ⇒ ln |p| = ln |y| + ln |c
1
|.
ðÏÔÅÎÃÉÒÕÑ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á, ÐÏÌÕÞÁÅÍ p = c
1
y. äÁÌÅÅ,
y
0
= c
1
y ⇒
dy
y
= c
1
dx ⇒
Z
dy
y
= c
1
Z
dx + ln c
2
⇒
⇒ ln |y| = c
1
x + ln |c
2
| ⇒ y = c
2
e
c
1
x
¡ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ.
5.3. õÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÒÁÚÒÅÛÅÎÎÙÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ×ÔÏÒÏÊ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ
äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÒÁÚÒÅÛÅÎÎÏÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ×ÔÏÒÏÊ ÐÒÏÉÚ-
×ÏÄÎÏÊ, ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
y
00
= f (x).
ïÂÏÚÎÁÞÉÍ y
0
= p, ÔÏÇÄÁ y
00
= p
0
É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ p
0
= f(x) ¡
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ.
dp
dx
= f(x) ⇒ dp = f (x) dx ⇒
Z
dp =
Z
f(x) dx + c
1
⇒ p =
Z
f(x) dx + c
1
.
äÁÌÅÅ ×ÍÅÓÔÏ p ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ y
0
=
dy
dx
.
dy
dx
=
Z
f(x) dx + c
1
⇒ dy =
Z
f(x) dx + c
1
dx,
y =
Z
Z
f(x) dx
dx + c
1
Z
dx + c
2
,
y =
Z
Z
f(x) dx
dx + c
1
x + c
2
¡ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ.
ðÒÉÍÅÒ 3. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ y
00
= x
2
.
§5. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. . .                       33

  òÅÛÅÎÉÅ. äÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ Ñ×ÎÏ x. ðÏÜÔÏÍÕ ÄÌÑ ÅÇÏ ÒÅ-
                                       dp
ÛÅÎÉÑ ÐÏÌÁÇÁÅÍ y 0 = p, ÔÏÇÄÁ y 00 = p dy . ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ

                              dp         dp
                         yp      = p2 ⇒ y = p (p 6= 0)
                              dy         dy
¡ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ

        dp dy        dp     dy
                   Z      Z
           =    ⇒       =      + ln |c1 | ⇒ ln |p| = ln |y| + ln |c1 |.
         p    y       p      y

ðÏÔÅÎÃÉÒÕÑ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á, ÐÏÌÕÞÁÅÍ p = c1 y. äÁÌÅÅ,

                        dy                dy
                                        Z           Z
            0
           y = c1 y ⇒      = c1 dx ⇒           = c1 dx + ln c2 ⇒
                        y                  y
         ⇒ ln |y| = c1 x + ln |c2 | ⇒ y = c2 ec1 x ¡ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ.


5.3. õÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÒÁÚÒÅÛÅÎÎÙÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ×ÔÏÒÏÊ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ

   äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÒÁÚÒÅÛÅÎÎÏÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ×ÔÏÒÏÊ ÐÒÏÉÚ-
×ÏÄÎÏÊ, ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
                                    y 00 = f (x).

ïÂÏÚÎÁÞÉÍ y 0 = p, ÔÏÇÄÁ y 00 = p0 É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ p0 = f (x) ¡
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ.

 dp
                               Z       Z                  Z
    = f (x) ⇒ dp = f (x) dx ⇒ dp = f (x) dx + c1 ⇒ p = f (x) dx + c1 .
 dx
                                     dy
äÁÌÅÅ ×ÍÅÓÔÏ p ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ y 0 =     dx .
                                               Z            
              dy
                     Z
                 =  f (x) dx + c1 ⇒ dy =      f (x) dx + c1 dx,
              dx
                       Z Z                   Z
                 y=           f (x) dx dx + c1 dx + c2 ,
               Z Z           
            y=        f (x) dx dx + c1 x + c2 ¡ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ.


   ðÒÉÍÅÒ 3. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ y 00 = x2.

Страницы