Дифференциальные уравнения. Учебное пособие - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

34 §6. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
òÅÛÅÎÉÅ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ y
0
= p, ÔÏÇÄÁ y
00
= p
0
. ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
p
0
= x
2
⇒
dp
dx
= x
2
⇒ dp = x
2
dx,
p =
Z
x
2
dx + c
1
⇒ p =
x
3
3
+ c
1
,
dy
dx
=
x
3
3
+ c
1
⇒ dy =
x
3
3
+ c
1
dx,
y =
Z
x
3
3
dx + c
1
Z
dx + c
2
,
y =
x
4
12
+ c
1
x + c
2
¡ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ.
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ
òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ:
142. (3x + 2)y
00
+ 7y
0
= 0;
143. (1 + x
2
)y
00
+ y
02
+ 1 = 0;
144. y
3
y
00
+ 1 = 0;
145. y
02
− yy
00
= y
2
y
0
;
146. y
00
= 3
√
y, y(0) = 1, y
0
(0) = 2;
147. xy
00
+ y
0
=
√
x, y(1) = 1, y(1) = 0;
148. 2yy
00
= y
02
+ 1;
149. y
2
+ y
02
− 2yy
00
= 0, y(0) = 1, y
0
(0) = 1;
150. 1 + y
02
= 2yy
00
;
151. (x + 1)y
00
= y
0
+ 1, y(0) = 1, y
0
(0) = 2.
§6. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ n-ÇÏ ÐÏ-
ÒÑÄËÁ
6.1. ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1. ìÉÎÅÊÎÙÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄ-
ËÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁ
y
(n)
+ a
1
(x)y
(n−1)
+ a
2
(x)y
(n−2)
+ . . . + a
n−1
(x)y
0
+ a
n
(x)y = f(x), (36)
ÇÄÅ a
1
(x), a
2
(x), . . ., a
n
(x), f(x) ¡ ÆÕÎËÃÉÉ, ÚÁÄÁÎÎÙÅ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÉÎÔÅÒ-
×ÁÌÅ.
34                  §6. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ

     òÅÛÅÎÉÅ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ y 0 = p, ÔÏÇÄÁ y 00 = p0 . ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
                                     dp
                         p0 = x2 ⇒      = x2 ⇒ dp = x2 dx,
                                     dx
                                                  x3
                               Z
                                  2
                          p = x dx + c1 ⇒ p =        + c1 ,
                                                  3
                              x3
                                               3     
                        dy                      x
                           =     + c1 ⇒ dy =      + c1 dx,
                        dx     3                3
                                 Z 3
                                    x
                                              Z
                            y=         dx + c1 dx + c2 ,
                                     3
                            x4
                        y=     + c1 x + c2 ¡ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ.
                            12

úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ

òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ:
  142. (3x + 2)y 00 + 7y 0 = 0;
  143. (1 + x2)y 00 + y 02 + 1 = 0;
  144. y 3 y 00 + 1 = 0;
  145. y 02 − yy 00 = y 2 y 0 ;
                 √
  146. y 00 = 3 y, y(0) = 1, y 0 (0) = 2;
                      √
  147. xy 00 + y 0 = x, y(1) = 1, y(1) = 0;
  148. 2yy 00 = y 02 + 1;
  149. y 2 + y 02 − 2yy 00 = 0, y(0) = 1, y 0 (0) = 1;
  150. 1 + y 02 = 2yy 00 ;
  151. (x + 1)y 00 = y 0 + 1, y(0) = 1, y 0 (0) = 2.


§6. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ n-ÇÏ ÐÏ-
    ÒÑÄËÁ
6.1. ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ

   ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1. ìÉÎÅÊÎÙÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄ-
ËÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁ
      y (n) + a1 (x)y (n−1) + a2 (x)y (n−2) + . . . + an−1(x)y 0 + an (x)y = f (x),   (36)
ÇÄÅ a1 (x), a2 (x), . . ., an (x), f (x) ¡ ÆÕÎËÃÉÉ, ÚÁÄÁÎÎÙÅ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÉÎÔÅÒ-
×ÁÌÅ.

Страницы