Дифференциальные уравнения. Учебное пособие - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

32 §5. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. . .
ôÁË ËÁË p = y
0
, ÔÏ
y
0
= [2 ln |x +
p
1 + x
2
| + c
1
]
1
√
1 + x
2
.
îÁÈÏÄÉÍ y:
y =
Z
[2 ln |x +
p
1 + x
2
| + c
1
]
dx
√
1 + x
2
+ c
2
= 2
Z
ln |x +
p
1 + x
2
|×
×d ln |x +
p
1 + x
2
| + c
1
Z
dx
√
1 + x
2
+ c
2
=
= ln
2
|x +
p
1 + x
2
| + c
1
ln |x +
p
1 + x
2
| + c
2
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÁÎÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
y = ln
2
|x +
p
1 + x
2
| + c
1
ln |x +
p
1 + x
2
| + c
2
.
5.2. õÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ x × Ñ×ÎÏÍ ×ÉÄÅ
õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁ y
00
= f(y, y
0
) Ñ×ÎÏ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ x. ðÏÌÏÖÉÍ y
0
= p(y), ÇÄÅ
p(y) ¡ ÎÏ×ÁÑ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ. îÁÊÄÅÍ y
00
. ðÏ ÐÒÁ×ÉÌÕ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ-
×ÁÎÉÑ ÓÌÏÖÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÉÍÅÅÍ
y
00
=
dy
0
dx
=
dp
dx
=
dp
dy
·
dy
dx
= p
dp
dy
.
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÄÌÑ y, y
0
× ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÐÏÌÕÞÉÍ
p
dp
dy
= f(y, p).
ïÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ p ÐÏÌÕÞÉÌÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ.
ðÕÓÔØ ÎÁÛÌÉ ÅÇÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ
p = p(y, c
1
),
ÇÄÅ c
1
¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÐÏÓÔÏÑÎÎÁÑ. ôÁË ËÁË p = y
0
, ÔÏ y
0
= p(y, c
1
) ¡ ÜÔÏ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ.
dx =
dy
p(y, c
1
)
⇒ x =
Z
dy
p(y, c
1
)
+ c
2
,
ÇÄÅ c
2
¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÐÏÓÔÏÑÎÎÁÑ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÐÏÌÕÞÉÌÉ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
ÄÁÎÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ yy
00
= y
02
.
32                     §5. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. . .

ôÁË ËÁË p = y 0 , ÔÏ
                                          p                    1
                       y 0 = [2 ln |x +    1 + x 2 | + c1 ] √       .
                                                             1 + x2
îÁÈÏÄÉÍ y:
                                     dx
       Z           p                              Z         p
                           2
    y = [2 ln |x + 1 + x | + c1 ] √       + c2 = 2 ln |x + 1 + x2|×
                                    1+x 2

                                              dx
                           p            Z
                                  2
                ×d ln |x + 1 + x | + c1 √           + c2 =
                                             1 + x2
                          p                   p
                   2
               = ln |x + 1 + x | + c1 ln |x + 1 + x2 | + c2
                                2


ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÁÎÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
                        p                    p
                   2
             y = ln |x + 1 + x | + c1 ln |x + 1 + x2| + c2 .
                              2



5.2. õÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ x × Ñ×ÎÏÍ ×ÉÄÅ

   õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁ y 00 = f (y, y 0) Ñ×ÎÏ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ x. ðÏÌÏÖÉÍ y 0 = p(y), ÇÄÅ
p(y) ¡ ÎÏ×ÁÑ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ. îÁÊÄÅÍ y 00 . ðÏ ÐÒÁ×ÉÌÕ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ-
×ÁÎÉÑ ÓÌÏÖÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÉÍÅÅÍ
                           00 dy 0   dp   dp dy   dp
                          y =      =    =   ·   =p .
                              dx     dx dy dx     dy
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÄÌÑ y, y 0 × ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÐÏÌÕÞÉÍ
                                        dp
                                    p      = f (y, p).
                                        dy
ïÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ p ÐÏÌÕÞÉÌÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ.
  ðÕÓÔØ ÎÁÛÌÉ ÅÇÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ
                                        p = p(y, c1),
ÇÄÅ c1 ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÐÏÓÔÏÑÎÎÁÑ. ôÁË ËÁË p = y 0 , ÔÏ y 0 = p(y, c1) ¡ ÜÔÏ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ.
                          dy              dy
                                     Z
                   dx =          ⇒x=             + c2 ,
                        p(y, c1)        p(y, c1)
ÇÄÅ c2 ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÐÏÓÔÏÑÎÎÁÑ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÐÏÌÕÞÉÌÉ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
ÄÁÎÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
   ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ yy 00 = y 02 .

Страницы