Дифференциальные уравнения. Учебное пособие - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§6. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ 35
åÓÌÉ f(x) ≡ 0, ÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ ÄÉÆÆÅ-
ÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ; ÅÓÌÉ f (x) 6≡ 0, ÔÏ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÎÅÏÄ-
ÎÏÒÏÄÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ.
ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (36) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
y = y + y
∗
,
ÇÄÅ y ¡ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, y
∗
¡
ÞÁÓÔÎÏÅ (ËÁËÏÅ-ÎÉÂÕÄØ) ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×-
ÎÅÎÉÑ.
åÓÌÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ y(x) ÎÁÊÄÅÎÏ, ÔÏ ÞÁÓÔÎÏÅ
ÒÅÛÅÎÉÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÁÊÄÅÎÏ ÍÅÔÏÄÏÍ ×ÁÒÉÁÃÉÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÈ.
y(x) = c
1
y
1
+ c
2
y
2
+ . . . + c
n
y
n
,
y
∗
(x) = c
1
(x)y
1
+ c
2
(x)y
2
+ . . . + c
n
(x)y
n
(37)
æÕÎËÃÉÉ c
i
(x) ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÉÚ ÓÉÓÔÅÍÙ
c
0
1
y
1
+ . . . + c
0
n
y
n
= 0,
c
0
1
y
0
1
+ . . . + c
0
n
y
0
n
= 0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c
0
1
y
(n−2)
1
+ . . . + c
0
n
y
(n−2)
n
= 0,
c
0
1
y
(n−1)
1
+ . . . + c
0
n
y
(n−1)
= f(x).
(38)
6.2. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉÃÉ-
ÅÎÔÁÍÉ
þÔÏÂÙ ÒÅÛÉÔØ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ-
ÃÉÅÎÔÁÍÉ
a
0
y
(n)
+ a
1
y
(n−1)
+ . . . + a
n−1
y
0
+ a
n
y = 0, (39)
ÎÁÄÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
a
0
λ
n
+ a
1
λ
n−1
+ . . . + a
n−1
λ + a
n
= 0 (40)
É ÎÁÊÔÉ ÅÇÏ ËÏÒÎÉ λ
1
, λ
2
, . . ., λ
n
.
ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (39) ÅÓÔØ ÓÕÍÍÁ, ÓÏÓÔÏÑÝÁÑ ÉÚ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ ×ÉÄÁ
c
i
e
λ
i
x
ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÐÒÏÓÔÏÇÏ ËÏÒÎÑ λ
i
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (40) É ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ ×ÉÄÁ
(c
m+1
+ c
m+2
x + c
m+3
x
2
+ . . . + c
m+k
x
k−1
)e
λx
(41)
ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ËÒÁÔÎÏÇÏ ËÏÒÎÑ λ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (40). ÷ÓÅ c
i
¡ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÐÏÓÔÏ-
ÑÎÎÙÅ. ëÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (39) É ËÏÒÎÉ λ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙ-
ÍÉ É ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÍÉ. åÓÌÉ ÖÅ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ (39) ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ, ÔÏ ÒÅÛÅÎÉÅ
§6. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ                     35

   åÓÌÉ f (x) ≡ 0, ÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ ÄÉÆÆÅ-
ÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ; ÅÓÌÉ f (x) 6≡ 0, ÔÏ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÎÅÏÄ-
ÎÏÒÏÄÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ.
   ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (36) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
                                      y = y + y ∗ ,
ÇÄÅ y ¡ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, y ∗ ¡
ÞÁÓÔÎÏÅ (ËÁËÏÅ-ÎÉÂÕÄØ) ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×-
ÎÅÎÉÑ.
   åÓÌÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ y(x) ÎÁÊÄÅÎÏ, ÔÏ ÞÁÓÔÎÏÅ
ÒÅÛÅÎÉÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÁÊÄÅÎÏ ÍÅÔÏÄÏÍ ×ÁÒÉÁÃÉÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÈ.
                     y(x) = c1 y1 + c2 y2 + . . . + cn yn ,
                                                                        (37)
                     y ∗ (x) = c1 (x)y1 + c2 (x)y2 + . . . + cn (x)yn
æÕÎËÃÉÉ ci (x) ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÉÚ ÓÉÓÔÅÍÙ
                     0
                      c1 y1 + . . . + c0n yn = 0,
                        0 0              0 0
                     c1 y1 + . . . + cn yn = 0,
                    
                    
                    
                       ...............................                  (38)
                            (n−2)                (n−2)
                       c01 y1     + . . . + c0n yn     = 0,
                    
                    
                    
                    
                     0 (n−1)                 0 (n−1)
                       c1 y 1     + . . . + cn y       = f (x).

6.2. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉÃÉ-
     ÅÎÔÁÍÉ

  þÔÏÂÙ ÒÅÛÉÔØ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ-
ÃÉÅÎÔÁÍÉ
              a0 y (n) + a1 y (n−1) + . . . + an−1 y 0 + an y = 0, (39)
ÎÁÄÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
                       a0 λn + a1 λn−1 + . . . + an−1λ + an = 0         (40)
É ÎÁÊÔÉ ÅÇÏ ËÏÒÎÉ λ1 , λ2 , . . ., λn .
    ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (39) ÅÓÔØ ÓÕÍÍÁ, ÓÏÓÔÏÑÝÁÑ ÉÚ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ ×ÉÄÁ
    λi x
ci e ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÐÒÏÓÔÏÇÏ ËÏÒÎÑ λi ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (40) É ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ ×ÉÄÁ
                   (cm+1 + cm+2x + cm+3x2 + . . . + cm+k xk−1)eλx       (41)
ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ËÒÁÔÎÏÇÏ ËÏÒÎÑ λ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (40). ÷ÓÅ ci ¡ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÐÏÓÔÏ-
ÑÎÎÙÅ. ëÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (39) É ËÏÒÎÉ λ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙ-
ÍÉ É ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÍÉ. åÓÌÉ ÖÅ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ (39) ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ, ÔÏ ÒÅÛÅÎÉÅ

Страницы