Дифференциальные уравнения. Учебное пособие - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§6. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ 37
åÓÌÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙ, ÔÏ ÄÌÑ ÕÒÁ×-
ÎÅÎÉÑ Ó ÐÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔØÀ
e
αx
(P (x) cos βx + Q(x) sin βx) (43)
ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÝÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ
y
∗
= x
s
e
αx
(R
m
(x) cos βx + T
m
(x) sin βx),
ÇÄÅ s = 0, ÅÓÌÉ α + βi ÎÅ ËÏÒÅÎØ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É s ÒÁ×ÎÏ
ËÒÁÔÎÏÓÔÉ ËÏÒÎÑ α + βi, Á R
m
, T
m
¡ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÓÔÅÐÅÎÉ m, ÒÁ×ÎÏÊ ÎÁÉ-
ÂÏÌØÛÅÊ ÉÚ ÓÔÅÐÅÎÅÊ P É Q. ëÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ ÐÕÔÅÍ
ÐÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÎÉÑ ÉÈ ÐÒÉ ÐÏÄÏÂÎÙÈ ÞÌÅÎÁÈ ÐÒÁ×ÏÊ É ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÅÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
y
000
+ 3y
00
− 4y
0
= x + e
x
+ sin x.
òÅÛÅÎÉÅ. îÁÊÄÅÍ ÓÎÁÞÁÌÁ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
y
000
+ 3y
00
− 4y
0
= 0.
óÏÓÔÁ×ÌÑÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ É ÒÅÛÁÅÍ ÅÇÏ
λ
3
+ 3λ
2
− 4λ = 0 ⇒ λ(λ
2
+ 3λ − 4) = 0 ⇒
⇒ λ
1
= 0, λ
2
= 1, λ
3
= −4.
ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
y = c
1
+ c
2
e
x
+ c
3
e
−4x
.
þÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÂÕÄÅÍ ÉÓËÁÔØ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ
y
∗
= y
∗
1
+ y
∗
2
+ y
∗
3
,
ÇÄÅ y
∗
1
, y
∗
2
, y
∗
3
¡ ÞÁÓÔÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÊ
y
000
+ 3y
00
− 4y
0
= x, y
∗
1
= x(Ax + B),
y
000
+ 3y
00
− 4y
0
= e
x
, y
∗
2
= Cxe
x
,
y
000
+ 3y
00
− 4y
0
= sin x, y
∗
3
= D cos x + E sin x.
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
y
∗
= x(Ax + B) + Cxe
x
+ D cos x + E sin x.
§6. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ                    37

   åÓÌÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙ, ÔÏ ÄÌÑ ÕÒÁ×-
ÎÅÎÉÑ Ó ÐÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔØÀ
                         eαx (P (x) cos βx + Q(x) sin βx)              (43)
ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÝÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ
                  y ∗ = xs eαx (Rm (x) cos βx + Tm (x) sin βx),
ÇÄÅ s = 0, ÅÓÌÉ α + βi ÎÅ ËÏÒÅÎØ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É s ÒÁ×ÎÏ
ËÒÁÔÎÏÓÔÉ ËÏÒÎÑ α + βi, Á Rm , Tm ¡ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÓÔÅÐÅÎÉ m, ÒÁ×ÎÏÊ ÎÁÉ-
ÂÏÌØÛÅÊ ÉÚ ÓÔÅÐÅÎÅÊ P É Q. ëÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ ÐÕÔÅÍ
ÐÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÎÉÑ ÉÈ ÐÒÉ ÐÏÄÏÂÎÙÈ ÞÌÅÎÁÈ ÐÒÁ×ÏÊ É ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÅÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
   ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
                        y 000 + 3y 00 − 4y 0 = x + ex + sin x.

  òÅÛÅÎÉÅ. îÁÊÄÅÍ ÓÎÁÞÁÌÁ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
                                y 000 + 3y 00 − 4y 0 = 0.
óÏÓÔÁ×ÌÑÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ É ÒÅÛÁÅÍ ÅÇÏ
                λ3 + 3λ2 − 4λ = 0 ⇒ λ(λ2 + 3λ − 4) = 0 ⇒
                      ⇒ λ1 = 0, λ2 = 1, λ3 = −4.
ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
                              y = c1 + c2 ex + c3 e−4x .
þÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÂÕÄÅÍ ÉÓËÁÔØ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ
                                 y ∗ = y1∗ + y2∗ + y3∗ ,
ÇÄÅ y1∗ , y2∗ , y3∗ ¡ ÞÁÓÔÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÊ
              y 000 + 3y 00 − 4y 0 = x,       y1∗ = x(Ax + B),
              y 000 + 3y 00 − 4y 0 = ex ,     y2∗ = Cxex ,
              y 000 + 3y 00 − 4y 0 = sin x, y3∗ = D cos x + E sin x.
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
                y ∗ = x(Ax + B) + Cxex + D cos x + E sin x.

Страницы