Дифференциальные уравнения. Учебное пособие - 38 стр.

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Рубрика: 

38 §6. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
îÁÊÄÅÍ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ A, B, C, D, E. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ×ÙÞÉÓÌÉÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ y
∗0
,
y
∗00
, y
∗000
, ÐÏÄÓÔÁ×ÉÍ × ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ É ÐÒÉ×ÅÄÅÍ ÐÏÄÏÂÎÙÅ ÞÌÅÎÙ:
y
∗0
= 2Ax + B + Ce
x
+ Cxe
x
− D sin x + E cos x,
y
∗00
= 2A + 2Ce
x
+ Cxe
x
− D cos x − E sin x,
y
∗000
= 3Ce
x
+ Cxe
x
+ D sin x − E cos x,
−8Ax + (6A − 4B) + 5Ce
x
+ (−3D − 5E) cos x + (5D − 3E) sin x =
= x + e
x
+ sin x,
x
x
0
e
x
cos x
sin x
−8A = 1,
6A − 4B = 0,
5C = 1,
−3D − 5E = 0,
5D − 3E = 1
⇒
A = −
1
8
; B = −
3
16
;
C =
1
5
; D =
5
34
; E = −
3
34
.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
y
∗
= −
1
8
x
x +
3
2
+
1
5
xe
x
+
1
34
(5 cos x − 3 sin x).
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ y É y
∗
× ÆÏÒÍÕÌÕ y = y + y
∗
, ÐÏÌÕÞÉÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÁÎÎÏÇÏ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ:
y = c
1
+ c
2
e
x
+ c
3
e
−4x
−
1
8
x
x +
3
2
+
1
5
xe
x
+
1
34
(5 cos x − 3 sin x).
ðÒÉÍÅÒ 3. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
y
IV
− 3y
00
= 9x
2
.
òÅÛÅÎÉÅ. òÅÛÅÎÉÅ y ÉÝÅÍ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ y = y + y
∗
. îÁÈÏÄÉÍ y:
λ
4
− 3λ
2
= 0 ⇒ λ
1,2
= 0, λ
3,4
= ±
√
3 ⇒
⇒ y = c
1
+ c
2
x + c
3
e
−
√
3x
+ c
4
e
√
3x
.
éÝÅÍ y
∗
× ×ÉÄÅ y
∗
= x
2
(Ax
2
+Bx+C). îÁÈÏÄÉÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ É ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ
ÉÈ × ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ:
y
∗
= Ax
4
+ Bx
3
+ Cx
2
,
y
∗0
= 4Ax
3
+ 3Bx
2
+ 2Cx,
y
∗00
= 12Ax
2
+ 6Bx + 2C,
y
∗000
= 24Ax + 6B,
y
∗
IV
= 24A,
38               §6. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ

îÁÊÄÅÍ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ A, B, C, D, E. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ×ÙÞÉÓÌÉÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ y ∗0 ,
y ∗00 , y ∗000, ÐÏÄÓÔÁ×ÉÍ × ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ É ÐÒÉ×ÅÄÅÍ ÐÏÄÏÂÎÙÅ ÞÌÅÎÙ:
                y ∗0 = 2Ax + B + Cex + Cxex − D sin x + E cos x,
               y ∗00 = 2A + 2Cex + Cxex − D cos x − E sin x,
               y ∗000 = 3Cex + Cxex + D sin x − E cos x,

       −8Ax + (6A − 4B) + 5Cex + (−3D − 5E) cos x + (5D − 3E) sin x =
                             = x + ex + sin x,
                
          x     
                  −8A = 1,
            0
          x      6A − 4B = 0,
                
                                          A = − 81 ; B = − 16
                                                            3
                
            x                                                 ;
          e         5C = 1,       ⇒        1         5          3
                                      C = 5 ; D = 34 ; E = − 34   .
          cos x   −3D − 5E =  0,
                
                
                
          sin x     5D − 3E = 1
                

óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
                            
                    1      3    1      1
              y∗ = − x x +     + xex +    (5 cos x − 3 sin x).
                    8      2    5      34
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ y É y ∗ × ÆÏÒÍÕÌÕ y = y + y ∗ , ÐÏÌÕÞÉÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÁÎÎÏÇÏ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ:
                                       
                              1       3       1      1
    y = c1 + c2 ex + c3 e−4x − x x +       + xex +     (5 cos x − 3 sin x).
                              8       2       5     34
     ðÒÉÍÅÒ 3. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
                                 y IV − 3y 00 = 9x2.
     òÅÛÅÎÉÅ. òÅÛÅÎÉÅ y ÉÝÅÍ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ y = y + y ∗ . îÁÈÏÄÉÍ y:
                 4     2
                                                 √
                λ − 3λ = 0 ⇒ λ1,2 = 0, λ3,4 = ± 3 ⇒
                                                 √              √
                                                − 3x             3x
                      ⇒ y = c1 + c2 x + c3 e          + c4 e         .
éÝÅÍ y ∗ × ×ÉÄÅ y ∗ = x2(Ax2 + Bx + C). îÁÈÏÄÉÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ É ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ
ÉÈ × ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ:
                            y ∗ = Ax4 + Bx3 + Cx2,
                           y ∗0 = 4Ax3 + 3Bx2 + 2Cx,
                           y ∗00 = 12Ax2 + 6Bx + 2C,
                          y ∗000 = 24Ax + 6B,
                            IV
                          y ∗ = 24A,

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