Дифференциальные уравнения. Учебное пособие - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

36 §6. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
ÍÏÖÎÏ ÔÏÖÅ ÚÁÐÉÓÁÔØ × ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÆÏÒÍÅ É × ÓÌÕÞÁÅ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ËÏÒ-
ÎÅÊ λ. äÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÐÁÒÙ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÓÏÐÒÑÖÅÎÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ λ = α ± βi ×
ÆÏÒÍÕÌÕ ÏÂÝÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ×ËÌÀÞÁÀÔÓÑ ÓÌÁÇÁÅÍÙÅ
c
m+1
e
αx
cos βx + c
m+2
e
αx
sin βx,
ÅÓÌÉ ÜÔÉ ËÏÒÎÉ ÐÒÏÓÔÙÅ, É ÓÌÁÇÁÅÍÙÅ
P
k−1
(x)e
αx
cos βx + Q
k−1
(x)e
αx
sin βx,
ÅÓÌÉ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ËÏÒÎÅÊ α+βi É α−βi ÉÍÅÅÔ ËÒÁÔÎÏÓÔØ k. úÄÅÓØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ
P
k−1
, Q
k−1
ÓÔÅÐÅÎÉ k −1, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÕ × (41), ÉÈ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ
ÐÏÓÔÏÑÎÎÙ.
ðÒÉÍÅÒ 1. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
y
(V)
− 2y
(IV)
− 16y
0
+ 32y = 0.
òÅÛÅÎÉÅ. ðÉÛÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
λ
5
− 2λ
4
− 16λ + 32 = 0.
òÁÚÌÁÇÁÑ ÌÅ×ÕÀ ÞÁÓÔØ ÎÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ, ÎÁÈÏÄÉÍ ËÏÒÎÉ
(λ − 2)(λ
4
− 16) = 0 (λ − 2)
2
(λ + 2)(λ
2
+ 4) = 0
λ
1
= λ
2
= 2; λ
3
= −2; λ
4
= 2i; λ
5
= −2i
ðÏ ÉÚÌÏÖÅÎÎÙÍ ×ÙÛÅ ÐÒÁ×ÉÌÁÍ ÐÉÛÅÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ
y = (c
1
+ c
2
x)e
2x
+ c
3
e
−2x
+ c
4
cos 2x + c
5
sin 2x.
6.3. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ-
ÃÉÅÎÔÁÍÉ
åÓÌÉ ÐÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ
ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÓÕÍÍ É ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÊ ÆÕÎËÃÉÊ
b
0
+ b
1
x + . . . + b
m
x
m
, e
ax
, cos βx, sin βx,
ÔÏ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ÉÓËÁÔØ ÍÅÔÏÄÏÍ ÎÅ-
ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ×.
äÌÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ Ó ÐÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔØÀ P
m
(x)e
νx
, ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
y
∗
= x
s
Q
m
(x)e
νx
. (42)
þÉÓÌÏ s = 0, ÅÓÌÉ ν ¡ ÎÅ ËÏÒÅÎØ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (40), Á ÅÓÌÉ
ν ¡ ËÏÒÅÎØ, ÔÏ s ÒÁ×ÎÏ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ËÏÒÎÑ. þÔÏÂÙ ÎÁÊÔÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ Q
m
(x), ÎÁÄÏ ÒÅÛÅÎÉÅ (42) ÐÏÄÓÔÁ×ÉÔØ × ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×-
ÎÅÎÉÅ É ÐÒÉÒÁ×ÎÑÔØ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÐÒÉ ÐÏÄÏÂÎÙÈ ÞÌÅÎÁÈ × ÌÅ×ÏÊ É ÐÒÁ×ÏÊ
ÞÁÓÔÑÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
36              §6. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ

ÍÏÖÎÏ ÔÏÖÅ ÚÁÐÉÓÁÔØ × ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÆÏÒÍÅ É × ÓÌÕÞÁÅ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ËÏÒ-
ÎÅÊ λ. äÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÐÁÒÙ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÓÏÐÒÑÖÅÎÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ λ = α ± βi ×
ÆÏÒÍÕÌÕ ÏÂÝÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ×ËÌÀÞÁÀÔÓÑ ÓÌÁÇÁÅÍÙÅ
                         cm+1 eαx cos βx + cm+2 eαx sin βx,
ÅÓÌÉ ÜÔÉ ËÏÒÎÉ ÐÒÏÓÔÙÅ, É ÓÌÁÇÁÅÍÙÅ
                     Pk−1 (x)eαx cos βx + Qk−1(x)eαx sin βx,
ÅÓÌÉ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ËÏÒÎÅÊ α + βi É α − βi ÉÍÅÅÔ ËÒÁÔÎÏÓÔØ k. úÄÅÓØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ
Pk−1 , Qk−1 ÓÔÅÐÅÎÉ k − 1, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÕ × (41), ÉÈ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ
ÐÏÓÔÏÑÎÎÙ.
   ðÒÉÍÅÒ 1. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
                          y (V) − 2y (IV) − 16y 0 + 32y = 0.
     òÅÛÅÎÉÅ. ðÉÛÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
                              λ5 − 2λ4 − 16λ + 32 = 0.
òÁÚÌÁÇÁÑ ÌÅ×ÕÀ ÞÁÓÔØ ÎÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ, ÎÁÈÏÄÉÍ ËÏÒÎÉ
             (λ − 2)(λ4 − 16) = 0  (λ − 2)2(λ + 2)(λ2 + 4) = 0
                λ1 = λ2 = 2; λ3 = −2; λ4 = 2i; λ5 = −2i
ðÏ ÉÚÌÏÖÅÎÎÙÍ ×ÙÛÅ ÐÒÁ×ÉÌÁÍ ÐÉÛÅÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ
               y = (c1 + c2 x)e2x + c3 e−2x + c4 cos 2x + c5 sin 2x.

6.3. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ-
     ÃÉÅÎÔÁÍÉ

   åÓÌÉ ÐÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ
ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÓÕÍÍ É ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÊ ÆÕÎËÃÉÊ
               b0 + b 1 x + . . . + b m x m ,   eax ,   cos βx,   sin βx,
ÔÏ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ÉÓËÁÔØ ÍÅÔÏÄÏÍ ÎÅ-
ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ×.
   äÌÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ Ó ÐÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔØÀ Pm (x)eνx , ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
                                   y ∗ = xs Qm (x)eνx.                      (42)
þÉÓÌÏ s = 0, ÅÓÌÉ ν ¡ ÎÅ ËÏÒÅÎØ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (40), Á ÅÓÌÉ
ν ¡ ËÏÒÅÎØ, ÔÏ s ÒÁ×ÎÏ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ËÏÒÎÑ. þÔÏÂÙ ÎÁÊÔÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ Qm (x), ÎÁÄÏ ÒÅÛÅÎÉÅ (42) ÐÏÄÓÔÁ×ÉÔØ × ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×-
ÎÅÎÉÅ É ÐÒÉÒÁ×ÎÑÔØ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÐÒÉ ÐÏÄÏÂÎÙÈ ÞÌÅÎÁÈ × ÌÅ×ÏÊ É ÐÒÁ×ÏÊ
ÞÁÓÔÑÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.

Страницы