Дифференциальные уравнения. Учебное пособие - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

26 §3. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ âÅÒÎÕÌÌÉ
É ÎÁÊÄÅÍ v ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ × ÓËÏÂËÁÈ ÏÂÒÁÔÉÌÏÓØ × ÎÕÌØ:
v
0
−
v
2x
= 0 ⇒
dv
v
=
dx
2x
⇒
Z
dv
v
=
1
2
Z
dx
x
⇒
⇒ ln |v| =
1
2
ln |x| ⇒ v =
√
x
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ v =
√
x × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (29), ÐÏÌÕÞÉÍ:
u
0
v =
x
2
2uv
⇒
du
dx
√
x =
x
2
u
√
x
⇒ u du =
x dx
2
⇒
u
2
2
=
x
2
4
+ c
1
⇒
⇒ u
2
=
x
2
2
+ c, ÇÄÅ c = 2c
1
.
ïÔÓÀÄÁ
u = ±
r
x
2
2
+ c.
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ u, v × y = uv, ÐÏÌÕÞÉÍ:
y = ±
r
x
3
2
+ cx.
ðÒÉÍÅÒ 7. îÁÊÔÉ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ y
0
−
4y
x
= x
√
y, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ
ÎÁÞÁÌØÎÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ y(1) = 1.
òÅÛÅÎÉÅ. äÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ âÅÒÎÕÌÌÉ, ÐÒÉ ÜÔÏÍ
n =
1
2
. éÝÅÍ ÒÅÛÅÎÉÅ × ×ÉÄÅ y = uv. îÁÈÏÄÉÍ y
0
É ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ y É y
0
=
= u
0
v + uv
0
× ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
u
0
v + uv
0
−
4uv
x
= x
√
uv.
ðÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
u
0
v + u
v
0
−
uv
x
= x
√
uv (30)
É ÎÁÈÏÄÉÍ v:
v
0
−
4v
x
= 0 ⇒
dv
v
= 4
dx
x
⇒ ln |v| = 4 ln |x| ⇒ v = x
4
.
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ v = x
4
× ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (30), ÐÏÌÕÞÁÅÍ
x
4
du
dx
= x
√
u · x
2
⇒
du
√
u
=
dx
x
,
Z
du
√
u
=
Z
dx
x
+ c ⇒ 2
√
u = ln |x| + c ⇒ u =
1
4
(ln |x| + c)
2
.
26                            §3. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ âÅÒÎÕÌÌÉ

É ÎÁÊÄÅÍ v ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ × ÓËÏÂËÁÈ ÏÂÒÁÔÉÌÏÓØ × ÎÕÌØ:
                    v        dv    dx     dv   1 dx
                                        Z        Z
                0
              v −     =0⇒       =     ⇒      =        ⇒
                   2x        v     2x      v   2   x
                                 1            √
                      ⇒ ln |v| = ln |x| ⇒ v = x
                                 2
                √
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ v = x × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (29), ÐÏÌÕÞÉÍ:
                 x2   du √      x2           x dx      u2   x2
       u0 v =       ⇒     x = √ ⇒ u du =          ⇒       =    + c1 ⇒
                2uv   dx      u x              2       2    4
                                 x2
                         ⇒ u2 =     + c, ÇÄÅ c = 2c1 .
                                 2
ïÔÓÀÄÁ
                                       r
                                     x2
                                 u=±    + c.
                                      2
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ u, v × y = uv, ÐÏÌÕÞÉÍ:
                                 r
                                    x3
                            y=±         + cx.
                                     2
                                                         √
   ðÒÉÍÅÒ 7. îÁÊÔÉ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ y 0 − 4y     x  = x  y, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ
ÎÁÞÁÌØÎÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ y(1) = 1.
   òÅÛÅÎÉÅ. äÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ âÅÒÎÕÌÌÉ, ÐÒÉ ÜÔÏÍ
n = 12 . éÝÅÍ ÒÅÛÅÎÉÅ × ×ÉÄÅ y = uv. îÁÈÏÄÉÍ y 0 É ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ y É y 0 =
= u0v + uv 0 × ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
                                        4uv     √
                          u0 v + uv 0 −      = x uv.
                                         x
ðÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
                           0
                                  
                                      0  uv     √
                          uv+u v −            = x uv                     (30)
                                         x
É ÎÁÈÏÄÉÍ v:
               4v        dv     dx
            v0 −  =0⇒       =4     ⇒ ln |v| = 4 ln |x| ⇒ v = x4 .
                x         v     x
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ v = x4 × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (30), ÐÏÌÕÞÁÅÍ
                     du     √          du    dx
                         x4
                         = x u · x2 ⇒ √ =       ,
                     dx                  u   x
           du    dx        √                      1
         Z     Z
           √ =      + c ⇒ 2 u = ln |x| + c ⇒ u = (ln |x| + c)2 .
            u     x                               4

Страницы