Дифференциальные уравнения. Учебное пособие - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

24 §3. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ âÅÒÎÕÌÌÉ
òÁÚÄÅÌÑÅÍ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ É ÐÏÓÌÅ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÁÈÏÄÉÍ y = C cos x, ÇÄÅ
C ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÐÏÓÔÏÑÎÎÁÑ.
äÌÑ ÐÏÌÕÞÅÎÉÑ ×ÓÅÈ ÒÅÛÅÎÉÊ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÓÞÉÔÁÅÍ C = C(x)
É ÔÒÅÂÕÅÍ, ÞÔÏÂÙ ÆÕÎËÃÉÑ y = C(x) cos x ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÌÁ ÅÍÕ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ
ÎÁÈÏÄÉÍ y
0
É ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ y, y
0
× ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ:
y
0
= (C(x) cos x))
0
= C
0
(x) cos x − C(x) sin x,
C
0
(x) cos x − C(x) sin x + C(x) cos x tg x =
1
cos x
,
ÏÔËÕÄÁ, ÐÏÓÌÅ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÊ, C
0
(x) =
1
cos
2
x
. ïÔÓÀÄÁ ÎÁÈÏÄÉÍ C(x) = tg x +
+ C
0
, ÇÄÅ C
0
¡ ÎÏ×ÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÐÏÓÔÏÑÎÎÁÑ. ðÏÄÓÔÁ×É× ÚÎÁÞÅÎÉÅ C(x) ×
ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï y = C(x) cos x, ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÐÏÌÕÞÉÍ
y = C(x) cos x = (tg x + C
0
) cos x = sin x + C
0
cos x.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. äÌÑ ÎÏ×ÏÊ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÐÏÓÔÏÑÎÎÏÊ ÍÏÖÎÏ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØ
ÓÔÁÒÏÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ C. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, × ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÏÍ ÐÒÉÍÅÒÅ y = sin x+
+ C cos x ÅÓÔØ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, Á C ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÐÏÓÔÏÑÎÎÁÑ.
ðÒÉÍÅÒ 5. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
(2x + 1)y
0
= 4x + 2y.
òÅÛÅÎÉÅ. òÅÛÁÅÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
(2x + 1)y
0
= 2y.
åÇÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ y = C(2x + 1). ðÒÉÍÅÎÉÍ ÍÅÔÏÄ ×ÁÒÉÁÃÉÉ
ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÐÏÓÔÏÑÎÎÏÊ. éÍÅÅÍ y = C(x)(2x+1), ÎÁÈÏÄÉÍ y
0
É ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ
y É y
0
× ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ:
(C
0
(x)(2x + 1) + 2C(x)) (2x +1) = 4x+2C(x)(2x+1) ⇒ (2x+1)
2
C
0
(x) = 4x.
ïÔÓÀÄÁ ÎÁÈÏÄÉÍ
C(x) = 4
Z
x dx
(2x + 1)
2
+ C
0
= ln |2x + 1| +
1
2x + 1
+ C
0
.
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÐÏÌÕÞÁÅÍ
y = (2x + 1)(ln |2x + 1| + C) + 1.
3.3. õÒÁ×ÎÅÎÉÑ âÅÒÎÕÌÌÉ
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 2. õÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ âÅÒÎÕÌÌÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁ
y
0
+ P (x)y = Q(x)y
n
, n = const,
ÇÄÅ P (x), Q(x) ¡ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁ ÚÁÄÁÎÎÏÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (a, b).
24                             §3. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ âÅÒÎÕÌÌÉ

òÁÚÄÅÌÑÅÍ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ É ÐÏÓÌÅ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÁÈÏÄÉÍ y = C cos x, ÇÄÅ
C ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÐÏÓÔÏÑÎÎÁÑ.
  äÌÑ ÐÏÌÕÞÅÎÉÑ ×ÓÅÈ ÒÅÛÅÎÉÊ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÓÞÉÔÁÅÍ C = C(x)
É ÔÒÅÂÕÅÍ, ÞÔÏÂÙ ÆÕÎËÃÉÑ y = C(x) cos x ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÌÁ ÅÍÕ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ
ÎÁÈÏÄÉÍ y 0 É ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ y, y 0 × ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ:
                 y 0 = (C(x) cos x))0 = C 0(x) cos x − C(x) sin x,
                                                                1
               C 0(x) cos x − C(x) sin x + C(x) cos x tg x =        ,
                                                              cos x
ÏÔËÕÄÁ, ÐÏÓÌÅ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÊ, C 0 (x) = cos12 x . ïÔÓÀÄÁ ÎÁÈÏÄÉÍ C(x) = tg x +
+ C0 , ÇÄÅ C0 ¡ ÎÏ×ÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÐÏÓÔÏÑÎÎÁÑ. ðÏÄÓÔÁ×É× ÚÎÁÞÅÎÉÅ C(x) ×
ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï y = C(x) cos x, ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÐÏÌÕÞÉÍ
             y = C(x) cos x = (tg x + C0) cos x = sin x + C0 cos x.
   úÁÍÅÞÁÎÉÅ. äÌÑ ÎÏ×ÏÊ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÐÏÓÔÏÑÎÎÏÊ ÍÏÖÎÏ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØ
ÓÔÁÒÏÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ C. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, × ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÏÍ ÐÒÉÍÅÒÅ y = sin x +
+ C cos x ÅÓÔØ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, Á C ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÐÏÓÔÏÑÎÎÁÑ.
   ðÒÉÍÅÒ 5. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
                                 (2x + 1)y 0 = 4x + 2y.
     òÅÛÅÎÉÅ. òÅÛÁÅÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
                                   (2x + 1)y 0 = 2y.
åÇÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ y = C(2x + 1). ðÒÉÍÅÎÉÍ ÍÅÔÏÄ ×ÁÒÉÁÃÉÉ
ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÐÏÓÔÏÑÎÎÏÊ. éÍÅÅÍ y = C(x)(2x+1), ÎÁÈÏÄÉÍ y 0 É ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ
y É y 0 × ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ:
(C 0(x)(2x + 1) + 2C(x)) (2x + 1) = 4x + 2C(x)(2x + 1) ⇒ (2x + 1)2C 0 (x) = 4x.
ïÔÓÀÄÁ ÎÁÈÏÄÉÍ
                       x dx                            1
                       Z
            C(x) = 4           + C 0 = ln |2x + 1| +        + C0 .
                     (2x + 1)2                       2x + 1
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÐÏÌÕÞÁÅÍ
                           y = (2x + 1)(ln |2x + 1| + C) + 1.

3.3. õÒÁ×ÎÅÎÉÑ âÅÒÎÕÌÌÉ

     ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 2. õÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ âÅÒÎÕÌÌÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁ
                       y 0 + P (x)y = Q(x)y n,     n = const,
ÇÄÅ P (x), Q(x) ¡ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁ ÚÁÄÁÎÎÏÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (a, b).

Страницы