Дифференциальные уравнения. Учебное пособие - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§3. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ âÅÒÎÕÌÌÉ 25
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÐÒÉ n = 0, n = 1 ÍÙ ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
õÒÁ×ÎÅÎÉÅ âÅÒÎÕÌÌÉ ÍÏÖÎÏ ÐÒÉ×ÅÓÔÉ Ë ÌÉÎÅÊÎÏÍÕ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ××ÅÄÅÎÉÑ
ÎÏ×ÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ. òÁÚÄÅÌÉÍ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ âÅÒÎÕÌÌÉ ÎÁ y
n
(y 6= 0):
1
y
n
y
0
+ P (x)
1
y
n−1
= Q(x)
É ××ÅÄÅÍ ÎÏ×ÕÀ ÐÅÒÅÍÅÎÎÕÀ z ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ
z =
1
y
n−1
.
ôÏÇÄÁ
y
0
=
1 − n
y
n
y
0
É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ âÅÒÎÕÌÌÉ ÐÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ
1
1 − n
z
0
+ P (x)z = Q(x)
ÉÌÉ
z
0
+ (1 −n)P (x)z = (1 − n)Q(x).
ïÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ z ÐÏÌÕÞÉÌÉ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ. åÓÌÉ ÎÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ
ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É ×ÍÅÓÔÏ z ÐÏÄÓÔÁ×ÉÔØ z = y
1−n
, ÔÏ ÐÏÌÕÞÉÍ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅ-
ÇÒÁÌ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ âÅÒÎÕÌÌÉ. åÓÌÉ n > 0, ÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ âÅÒÎÕÌÌÉ ÉÍÅÅÔ ÅÝÅ
ÒÅÛÅÎÉÅ y = 0.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ âÅÒÎÕÌÌÉ ÍÏÖÎÏ ÒÅÛÁÔØ ÔÁË ÖÅ, ËÁË É ÌÉÎÅÊÎÏÅ
ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÔÏ ÅÓÔØ ÉÓËÁÔØ ÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÅ × ×ÉÄÅ y = uv.
ðÒÉÍÅÒ 6. îÁÊÔÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÒÅÛÅÎÉÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
y
0
−
y
0
2x
=
x
2
2y
, x > 0.
òÅÛÅÎÉÅ. äÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ âÅÒÎÕÌÌÉ. ÷ ÄÁÎÎÏÍ
ÓÌÕÞÁÅ n = −1. òÅÛÅÎÉÅ ÉÝÅÍ × ×ÉÄÅ y = uv. îÁÊÄÅÍ y
0
É ÐÏÄÓÔÁ×ÉÍ y É y
0
× ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ:
y
0
= u
0
v + uv
0
, u
0
v + uv
0
−
uv
2x
=
x
2
2uv
.
ðÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
u
0
v + u
v
0
−
v
2x
=
x
2
uv
(29)
§3. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ âÅÒÎÕÌÌÉ                              25

   úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÐÒÉ n = 0, n = 1 ÍÙ ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
   õÒÁ×ÎÅÎÉÅ âÅÒÎÕÌÌÉ ÍÏÖÎÏ ÐÒÉ×ÅÓÔÉ Ë ÌÉÎÅÊÎÏÍÕ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ××ÅÄÅÎÉÑ
ÎÏ×ÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ. òÁÚÄÅÌÉÍ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ âÅÒÎÕÌÌÉ ÎÁ y n (y 6= 0):
                              1 0            1
                                 y + P (x)       = Q(x)
                              yn           y n−1
É ××ÅÄÅÍ ÎÏ×ÕÀ ÐÅÒÅÍÅÎÎÕÀ z ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ
                                                    1
                                          z=               .
                                                   y n−1
ôÏÇÄÁ
                                               1−n 0
                                      y0 =         y
                                                yn
É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ âÅÒÎÕÌÌÉ ÐÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ
                               1 0
                                  z + P (x)z = Q(x)
                              1−n
ÉÌÉ
                       z 0 + (1 − n)P (x)z = (1 − n)Q(x).
ïÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ z ÐÏÌÕÞÉÌÉ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ. åÓÌÉ ÎÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ
ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É ×ÍÅÓÔÏ z ÐÏÄÓÔÁ×ÉÔØ z = y 1−n, ÔÏ ÐÏÌÕÞÉÍ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅ-
ÇÒÁÌ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ âÅÒÎÕÌÌÉ. åÓÌÉ n > 0, ÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ âÅÒÎÕÌÌÉ ÉÍÅÅÔ ÅÝÅ
ÒÅÛÅÎÉÅ y = 0.
   úÁÍÅÞÁÎÉÅ. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ âÅÒÎÕÌÌÉ ÍÏÖÎÏ ÒÅÛÁÔØ ÔÁË ÖÅ, ËÁË É ÌÉÎÅÊÎÏÅ
ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÔÏ ÅÓÔØ ÉÓËÁÔØ ÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÅ × ×ÉÄÅ y = uv.
   ðÒÉÍÅÒ 6. îÁÊÔÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÒÅÛÅÎÉÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
                                      y0  x2
                               y0 −      = ,                   x > 0.
                                      2x 2y
   òÅÛÅÎÉÅ. äÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ âÅÒÎÕÌÌÉ. ÷ ÄÁÎÎÏÍ
ÓÌÕÞÁÅ n = −1. òÅÛÅÎÉÅ ÉÝÅÍ × ×ÉÄÅ y = uv. îÁÊÄÅÍ y 0 É ÐÏÄÓÔÁ×ÉÍ y É y 0
× ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ:

                   0      0           0        0         uv   x2
                                                               0
                  y = u v + uv ,              u v + uv −    =    .
                                                         2x 2uv
ðÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ

                               0        v  x2
                                          
                                              0
                              uv+u v −     =                            (29)
                                       2x    uv

Страницы