Дифференциальные уравнения. Учебное пособие - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§3. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ âÅÒÎÕÌÌÉ 23
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ v = 1 + x
2
× ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (28), ÐÏÌÕÞÉÍ
u
0
(1 + x
2
) = 1.
ïÔÓÀÄÁ
du
dx
=
1
1 + x
2
⇒ du =
dx
1 + x
2
⇒ u = arctg x + c.
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ u É v × y = uv, ÐÏÌÕÞÉÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÁÎÎÏÇÏ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
y = (arctg x + c)(1 + x
2
).
îÁÊÄÅÍ ÔÅÐÅÒØ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÎÁÞÁÌØÎÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ y(1) = 0.
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ x = 1, y = 0 × ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ
0 = 2(arctg 1 + c), 0 = 2
π
4
+ c
⇒ c = −
π
4
.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÎÁÞÁÌØÎÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ
y(1) = 0, ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
y =
arctg x −
π
4
(1 + x
2
).
3.2. íÅÔÏÄ ×ÁÒÉÁÃÉÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÐÏÓÔÏÑÎÎÏÊ ÒÅÛÅÎÉÑ ÌÉÎÅÊ-
ÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ
íÅÔÏÄ ×ÁÒÉÁÃÉÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÐÏÓÔÏÑÎÎÏÊ ÒÅÛÅÎÉÑ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÎÅÏÄÎÏ-
ÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
y
0
+ P (x)y = Q(x)
ÓÏÓÔÏÉÔ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ.
óÎÁÞÁÌÁ ÉÝÅÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÌÉ-
ÎÅÊÎÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ:
y
0
+ P (x)y = 0.
úÁÔÅÍ × ÏÂÝÅÍ ÒÅÛÅÎÉÉ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÏÓÔÏÑÎÎÕÀ C ÓÞÉÔÁÀÔ
ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ ÏÔ x: C = C(x). üÔÕ ÆÕÎËÃÉÀ ÎÁ-
ÈÏÄÑÔ ÉÚ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ,
ËÏÔÏÒÏÅ ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ ÏÂÝÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ × ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ.
ðÒÉÍÅÒ 4. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
y
0
+ y tg x =
1
cos x
.
òÅÛÅÎÉÅ. óÎÁÞÁÌÁ ÎÁÈÏÄÉÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÓÏ-
ÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÄÁÎÎÏÍÕ:
y
0
+ y tg x = 0.
§3. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ âÅÒÎÕÌÌÉ                        23

ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ v = 1 + x2 × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (28), ÐÏÌÕÞÉÍ
                             u0(1 + x2) = 1.
ïÔÓÀÄÁ
               du      1               dx
                  =         ⇒  du =         ⇒ u = arctg x + c.
               dx 1 + x2             1 + x2
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ u É v × y = uv, ÐÏÌÕÞÉÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÁÎÎÏÇÏ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
                          y = (arctg x + c)(1 + x2).
   îÁÊÄÅÍ ÔÅÐÅÒØ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÎÁÞÁÌØÎÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ y(1) = 0.
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ x = 1, y = 0 × ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ
                                           π             π
               0 = 2(arctg 1 + c), 0 = 2      +c ⇒c =− .
                                            4              4
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÎÁÞÁÌØÎÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ
y(1) = 0, ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ                    π
                         y = arctg x −      (1 + x2).
                                         4

3.2. íÅÔÏÄ ×ÁÒÉÁÃÉÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÐÏÓÔÏÑÎÎÏÊ ÒÅÛÅÎÉÑ ÌÉÎÅÊ-
     ÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ

   íÅÔÏÄ ×ÁÒÉÁÃÉÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÐÏÓÔÏÑÎÎÏÊ ÒÅÛÅÎÉÑ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÎÅÏÄÎÏ-
ÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
                           y 0 + P (x)y = Q(x)
ÓÏÓÔÏÉÔ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ.
   óÎÁÞÁÌÁ ÉÝÅÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÌÉ-
ÎÅÊÎÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ:
                              y 0 + P (x)y = 0.
úÁÔÅÍ × ÏÂÝÅÍ ÒÅÛÅÎÉÉ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÏÓÔÏÑÎÎÕÀ C ÓÞÉÔÁÀÔ
ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ ÏÔ x: C = C(x). üÔÕ ÆÕÎËÃÉÀ ÎÁ-
ÈÏÄÑÔ ÉÚ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ,
ËÏÔÏÒÏÅ ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ ÏÂÝÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ × ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ.
   ðÒÉÍÅÒ 4. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
                                              1
                           y 0 + y tg x =         .
                                            cos x
   òÅÛÅÎÉÅ. óÎÁÞÁÌÁ ÎÁÈÏÄÉÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÓÏ-
ÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÄÁÎÎÏÍÕ:
                               y 0 + y tg x = 0.

Страницы