Дифференциальные уравнения. Учебное пособие - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§3. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ âÅÒÎÕÌÌÉ 21
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÐÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ËÏÎËÒÅÔÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÎÅÃÅÌÅÓÏÏÂÒÁÚÎÏ ÐÏÌØ-
ÚÏ×ÁÔØÓÑ ÇÒÏÍÏÚÄËÏÊ É ÔÒÕÄÎÏ ÚÁÐÏÍÉÎÁÅÍÏÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ (25), Á ÐÒÏÝÅ ÕÓ×Ï-
ÉÔØ ÉÚÌÏÖÅÎÎÙÊ ÓÐÏÓÏ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÏÂÝÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
É ÐÒÉÍÅÎÑÔØ ÅÇÏ × ËÁÖÄÏÍ ËÏÎËÒÅÔÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ.
ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
dy
dx
−
y
x
= x
2
.
òÅÛÅÎÉÅ. äÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍ. òÅÛÅÎÉÅ ÉÝÅÍ × ×ÉÄÅ
y = uv. îÁÊÄÅÍ y
0
y
0
= u
0
v + uv
0
.
ðÏÄÓÔÁ×ÉÍ y É y
0
× ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
u
0
v + uv
0
−
uv
x
= x
2
.
ðÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ÜÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ë ×ÉÄÕ
u
0
v + u
v
0
−
v
x
= x
2
. (26)
îÁÊÄÅÍ ÆÕÎËÃÉÀ v ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ × ÓËÏÂËÁÈ ÏÂÒÁÔÉÌÏÓØ × ÎÕÌØ.
v
0
−
v
x
= 0 ⇒
dv
dx
=
v
x
.
ðÏÌÕÞÉÌÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ.
dv
v
=
dx
x
.
ïÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
ln |v| = ln |cx|.
îÁÍ ÎÕÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÏÄÎÕ ËÁËÕÀ-ÌÉÂÏ ÆÕÎËÃÉÀ v, ÐÏÌÏÖÉÍ c = 1. ðÏÌÕÞÉÍ
v = x.
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ v = x × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (26):
xu
0
= x
2
⇒ du = x dx ⇒ u =
x
2
2
+ C.
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ u É v × y = uv, ÐÏÌÕÞÉÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÁÎÎÏÇÏ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
y = x
x
2
2
+ C
.
ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
y
0
− 2xy =
√
x e
x
2
.
§3. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ âÅÒÎÕÌÌÉ                        21

ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÐÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ËÏÎËÒÅÔÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÎÅÃÅÌÅÓÏÏÂÒÁÚÎÏ ÐÏÌØ-
ÚÏ×ÁÔØÓÑ ÇÒÏÍÏÚÄËÏÊ É ÔÒÕÄÎÏ ÚÁÐÏÍÉÎÁÅÍÏÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ (25), Á ÐÒÏÝÅ ÕÓ×Ï-
ÉÔØ ÉÚÌÏÖÅÎÎÙÊ ÓÐÏÓÏ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÏÂÝÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
É ÐÒÉÍÅÎÑÔØ ÅÇÏ × ËÁÖÄÏÍ ËÏÎËÒÅÔÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ.
   ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
                                 dy y
                                      − = x2 .
                                 dx x
   òÅÛÅÎÉÅ. äÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍ. òÅÛÅÎÉÅ ÉÝÅÍ × ×ÉÄÅ
y = uv. îÁÊÄÅÍ y 0
                                y 0 = u0 v + uv 0.
ðÏÄÓÔÁ×ÉÍ y É y 0 × ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
                                           uv
                            u0 v + uv 0 −       = x2 .
                                            x
ðÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ÜÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ë ×ÉÄÕ
                            0
                                     
                                        0   v
                           uv+u v −              = x2 .           (26)
                                            x
îÁÊÄÅÍ ÆÕÎËÃÉÀ v ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ × ÓËÏÂËÁÈ ÏÂÒÁÔÉÌÏÓØ × ÎÕÌØ.
                                 v           dv     v
                           v0 − = 0 ⇒            = .
                                 x           dx x
ðÏÌÕÞÉÌÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ.
                                    dv     dx
                                       =      .
                                     v     x
ïÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
                             ln |v| = ln |cx|.
îÁÍ ÎÕÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÏÄÎÕ ËÁËÕÀ-ÌÉÂÏ ÆÕÎËÃÉÀ v, ÐÏÌÏÖÉÍ c = 1. ðÏÌÕÞÉÍ
                                 v = x.
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ v = x × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (26):
                                            x2
                  xu0 = x2 ⇒ du = x dx ⇒ u =   + C.
                                            2
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ u É v × y = uv, ÐÏÌÕÞÉÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÁÎÎÏÇÏ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ                        2    
                                  x
                          y=x        +C .
                                   2
  ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
                                     √   2
                         y 0 − 2xy = x ex .

Страницы