Дифференциальные уравнения. Учебное пособие - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

22 §3. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ âÅÒÎÕÌÌÉ
òÅÛÅÎÉÅ. äÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÍ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ. ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÝÅÍ × ×ÉÄÅ y = uv. îÁÊÄÅÍ y
0
y
0
= u
0
v + uv
0
.
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ y É y
0
× ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ
u
0
v + u(v
0
− 2xv) =
√
x e
x
2
. (27)
îÁÊÄÅÍ ÆÕÎËÃÉÀ v ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ × ÓËÏÂËÁÈ ÏÂÒÁÔÉÌÏÓØ × ÎÕÌØ
v
0
− 2xv = 0 ⇒
dv
dx
= 2xv.
òÁÚÄÅÌÑÅÍ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ
dv
v
= 2x dx ⇒
Z
dv
v
= 2
Z
x dx ⇒ ln |v| = x
2
⇒ v = e
x
2
.
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ v = e
x
2
× ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (27):
u
0
e
x
2
=
√
x e
x
2
⇒
du
dx
=
√
x ⇒ u =
2
3
x
3
2
+ c.
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ u É v × y = uv, ÐÏÌÕÞÉÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ
ÄÁÎÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
y =
2
3
x
3
2
+ c
e
x
2
.
ðÒÉÍÅÒ 3. îÁÊÔÉ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
(1 + x
2
)y
0
− 2xy = 1 + x
2
,
ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÀ y(1) = 0.
òÅÛÅÎÉÅ. òÁÚÄÅÌÉÍ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÄÁÎÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÎÁ (1 + x
2
)
y
0
−
2x
1 + x
2
y = 1.
ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÉÝÅÍ × ×ÉÄÅ y = uv, ÔÏÇÄÁ y
0
= u
0
v + uv
0
.
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ y É y
0
× ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ É ÐÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ÅÇÏ:
u
0
v + u
v
0
−
2x
1 + x
2
v
= 1. (28)
äÁÌÅÅ ÎÁÊÄÅÍ v ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ × ÓËÏÂËÁÈ ÏÂÒÁÔÉÌÏÓØ × ÎÕÌØ:
v
0
−
2xv
1 + x
2
= 0 ⇒
dv
dx
=
2xv
1 + x
2
⇒
dv
v
=
2x dx
1 + x
2
Z
dv
v
= 2
Z
x dx
1 + x
2
⇒ ln |v| = ln |1 + x
2
| ⇒ v = 1 + x
2
.
22                         §3. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ âÅÒÎÕÌÌÉ

  òÅÛÅÎÉÅ. äÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÍ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ. ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÝÅÍ × ×ÉÄÅ y = uv. îÁÊÄÅÍ y 0
                                y 0 = u0 v + uv 0.
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ y É y 0 × ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ
                                              √    2
                         u0 v + u(v 0 − 2xv) = x ex .                  (27)
îÁÊÄÅÍ ÆÕÎËÃÉÀ v ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ × ÓËÏÂËÁÈ ÏÂÒÁÔÉÌÏÓØ × ÎÕÌØ
                                      dv
                      v 0 − 2xv = 0 ⇒    = 2xv.
                                      dx
òÁÚÄÅÌÑÅÍ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ
         dv               dv
                      Z         Z
                                                            2
            = 2x dx ⇒        = 2 x dx ⇒ ln |v| = x2 ⇒ v = ex .
          v               v
                    2
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ v = ex × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (27):
                     2 √     2  du √            2 3
               u0 e x = x e x ⇒     = x ⇒ u = x 2 + c.
                                dx              3
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ u É v × y = uv, ÐÏÌÕÞÉÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ
ÄÁÎÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ                        
                                 2 3         2
                           y=      x 2 + c ex .
                                 3
  ðÒÉÍÅÒ 3. îÁÊÔÉ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
                          (1 + x2)y 0 − 2xy = 1 + x2,
ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÀ y(1) = 0.
   òÅÛÅÎÉÅ. òÁÚÄÅÌÉÍ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÄÁÎÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÎÁ (1 + x2)
                                     2x
                              y0 −        y = 1.
                                   1 + x2
ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÉÝÅÍ × ×ÉÄÅ y = uv, ÔÏÇÄÁ y 0 = u0v + uv 0 .
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ y É y 0 × ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ É ÐÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ÅÇÏ:
                                              
                                         2x
                        u0 v + u v 0 −        v = 1.               (28)
                                       1 + x2
äÁÌÅÅ ÎÁÊÄÅÍ v ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ × ÓËÏÂËÁÈ ÏÂÒÁÔÉÌÏÓØ × ÎÕÌØ:
                    2xv           dv      2xv       dv    2x dx
              v0 −         = 0  ⇒     =          ⇒      =
                   1 Z+ x2        dx 1 + x2          v    1 + x2
             dv          x dx
          Z
                 =2           2
                                ⇒ ln |v| = ln |1 + x2| ⇒ v = 1 + x2.
              v         1+x

Страницы