Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

20
Если считать
π< 2t и разложить правую часть по степеням t ,
∑
∞
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
−=
π
−
π
−=
π−
1
2
2
1
1
22
n
n
mi
t
mi
t
mi
t
mit
t
,
n
n
n
mi
t
mit
t
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
−=
π+
∑
∞
−
−
2
)1(
2
1
1
,
то коэффициентом при
n
t будет тригонометрический ряд для
!
)(
n
xB
n
.
∑∑
∞
=
∞
=
ππ−
−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
π
−
π
−
+=
11
22
1
)2(
1
)2(
)1(
1),(
mn
mxin
n
mxin
n
n
et
mi
et
mi
txg
∑∑
∞
=
∞
=
ππ−
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
π
+=
11
22
1
1)1(
)2(
1
nm
mxi
n
mxi
n
n
n
n
e
m
e
mi
t
.
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t для
1>n ,
получим
∑
∞
=
ππ−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
π
=
1
22*
1)1(
)2(
!
)(
m
mxi
n
mxi
n
n
n
n
e
m
e
mi
n
xB .
Для четных и нечетных индексов вычисления дают следующие
результаты:
*
2k
B
= ,
2cos
2
)!2()1(
1
2212
1
∑
∞
=
−
−
π
π
−
m
kkk
k
m
mxk
(1)
.
2sin
2
)!12()1(
)(
1
12122
1
*
12
∑
∞
=
++
−
+
π
π
+−
=
m
kkk
k
k
m
mxk
xB (2)
4. Разложение произвольной функции
по многочленам Бернулли
При построении квадратурной формулы приближенного вычис-
ления, определенного интеграла необходимо разложение подынте-
гральной функции по многочленам Бернулли. Рассмотрим теорему. 
    Если считать t < 2π и разложить правую часть по степеням t ,
                                                 ∞ ⎛ t ⎞                         n
                       t          t      1
                            =−                =−∑ ⎜         ⎟ ,
                  t − i 2πm    i 2πm 1 − t      n =1⎝ i 2πm ⎠
                                        i 2πm
                                        ∞                               n
                                  t                 ⎛ t ⎞
                                      = ∑ (−1) n −1 ⎜       ⎟ ,
                             t + i 2πm n −1         ⎝ i 2πm ⎠
                                                                                        B ( x)
то коэффициентом при t n будет тригонометрический ряд для n                                    .
                                                                                         n!
                      ∞ ∞ ⎡ ( −1) n −1                           1                   ⎤
     g ( x, t ) = 1 + ∑ ∑ ⎢                 t n e − i 2πmx −           t n e i 2 πmx ⎥ =
                                          n
                     m =1 n =1 ⎢⎣ (i 2πm)                    (i 2πm) n               ⎥⎦
                     ∞        tn     ∞⎡ (−1) n −1 − i 2πmx    1 i 2πmx ⎤
              = 1+ ∑                 ∑⎢          e         −    e      ⎥.
                               n            n
                    n =1 (i 2π) m =1 ⎣⎢ m                    mn        ⎦⎥
   Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t для n > 1 ,
получим
                                n!     ∞    ⎡ (−1) n − i 2πmx    1 i 2 πmx ⎤
               Bn* ( x) =             ∑⎢            e         −    e       ⎥.
                            ( 2πi ) n m =1 ⎢⎣ m n               mn         ⎥⎦
   Для четных и нечетных индексов вычисления дают следующие
результаты:
                               *
                              B2k   (−1) k −1 (2k )!       ∞     cos 2πmx
                                  =
                                             2 k −1 2 k   ∑                  ,              (1)
                                         2        π       m =1     m 2k
                                              (−1) k −1 (2k + 1)! ∞ sin 2πmx
                            B2*k +1 ( x) =                          ∑                 .     (2)
                                                 2 2k π 2k +1      m =1     m 2k +1

              4. Разложение произвольной функции
                    по многочленам Бернулли
   При построении квадратурной формулы приближенного вычис-
ления, определенного интеграла необходимо разложение подынте-
гральной функции по многочленам Бернулли. Рассмотрим теорему.


                                                   20

Страницы