Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

19
)()(
*
xBxB
nn
= , ,10
<
≤
x
)()1(
**
xBxB
nn
=+
, n = 0, 1, 2, …,
тогда )(
*
0
xB есть постоянная, равная 1; −)(
*
1
xB разрывная функ-
ция и имеет скачок величиной (–1) в целых точках;
)(
*
xB
n
при 1>n –
непрерывная функция.
Построим тригонометрические ряды Фурье для )(
*
xB
n
. С этой це-
лью построим ряд Фурье для производящей функции
1
),(
−
=
t
xt
e
t
etxg
при
10
<
≤ x . Воспользуемся записью ряда в показательной форме
∑
∞
−∞=
π
=
m
mxi
m
eCxg ;)(
2
∫∫
π−
=
−
==
π−π−
1
0
1
0
22
.
2
1
mit
t
dxee
e
t
dxgeC
mxixt
t
mxi
m
.1
0
=C Объединив члены ряда, соответствующие значениям ин-
декса m и m− , получим:
.
22
1),(
1
22
∑
∞
=
π−π
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
π+
+
π−
+=
m
mximxi
e
mit
t
e
mit
t
txg
Можно показать, что для любых значений
x
на отрезке ]1,0[ ряд,
стоящий в правой части равенства, будет сходиться при всяких t ,
отличных от πki2 при
K,1,0
±
=
k . При этом, если исключить из ряда
несколько первых членов, имеющих полюсы в ограниченной час-
ти σ плоскости t , то оставшийся ряд будет сходиться равномерно
относительно t в σ . Легко можно оправдать возможность изменения
порядка суммирования при построении степенного ряда для функ-
ции )(xg . 
                            Bn* ( x) = Bn ( x) , 0 ≤ x < 1,
                       Bn* ( x + 1) = Bn* ( x) , n = 0, 1, 2, …,
тогда B0* ( x)   есть постоянная, равная 1; B1* ( x) − разрывная функ-
ция и имеет скачок величиной (–1) в целых точках; Bn* ( x) при n > 1 –
непрерывная функция.
  Построим тригонометрические ряды Фурье для Bn* ( x) . С этой це-
лью построим ряд Фурье для производящей функции
                                                         t
                                 g ( x, t ) = e xt
                                                     t
                                                     e −1
при 0 ≤ x < 1 . Воспользуемся записью ряда в показательной форме
                                           ∞
                              g ( x) = ∑ C m e i 2πmx ;
                                        m = −∞
                 1
                                       t 1 xt − i 2πmx           t
           C m = ∫ ge − i 2πmx dx =      ∫e e          dx =           .
                 0
                                     t
                                    e −1 0                  t − i 2πm
   C0 = 1. Объединив члены ряда, соответствующие значениям ин-
декса m и − m , получим:
                            ∞ ⎡        t                    t               ⎤
           g ( x, t ) = 1 + ∑ ⎢             e i 2πmx +           e − i 2πmx ⎥.
                           m =1 ⎣ t − i 2πm            t + i 2πm            ⎦
   Можно показать, что для любых значений x на отрезке [0,1] ряд,
стоящий в правой части равенства, будет сходиться при всяких t ,
отличных от i2kπ при k = 0,±1,K . При этом, если исключить из ряда
несколько первых членов, имеющих полюсы в ограниченной час-
ти σ плоскости t , то оставшийся ряд будет сходиться равномерно
относительно t в σ . Легко можно оправдать возможность изменения
порядка суммирования при построении степенного ряда для функ-
ции g (x) .




                                            19

Страницы