Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

17
Рассмотрим теперь многочлен
)(xy
n
нечетного номера 12 −= kn .
Будем считать
2≥k , тогда
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
−=−
=
∑
−
=ν
ν−−
ν−
−−
2
0
1
,12
1212
.)21()()1(
)()(
k
k
kk
k
kk
zHxxy
xBxy
(16)
Точки 0=x и 1=x являются нулями функции
)(
12
xy
k −
. Из фор-
мулы (16) следует, что
2
1
=x
есть простой нуль )(
12
xy
k −
и других
нулей на отрезке ]1,0[ этот многочлен не имеет. Знак функции
)(
12
xy
k −
определяется неравенствами
0)()1(
12
>−
−
xy
k
k
при ,
2
1
0 << x
0)()1(
12
<
−
−
xy
k
при .1
2
1
<< x
На рис. 1 изображены графики различных многочленов Бернулли.
-0,2
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
1 3 5 7 9 111315171921 232527293133353739414345474951
Рис. 1
B
1
(x)
B
3
(
x
)
B
5
(
x
)
B
4
(
x
)
B
2
(
x
)
B
6
(
x
)
   Рассмотрим теперь многочлен y n ( x) нечетного номера n = 2k − 1 .
Будем считать k ≥ 2 , тогда
                              y 2k −1 ( x) = B2k −1 ( x)              ⎫
                                                k −2                  ⎪
                                                                        (16)
                 (−1) k y 2k −1 ( x) = (1 − 2 x) ∑ H k , ν z k −1− ν .⎬
                                                                      ⎪
                                                ν =0                  ⎭
   Точки x = 0 и x = 1 являются нулями функции y 2k −1 ( x) . Из фор-
                              1
мулы (16) следует, что x =         есть простой нуль y 2k −1 ( x) и других
                              2
нулей на отрезке [0,1] этот многочлен не имеет. Знак функции

y 2k −1 ( x) определяется неравенствами
                                                                              1
                                  (−1) k y 2k −1 ( x) > 0 при 0 < x <           ,
                                                                              2
                                      1
                                   (−1) y 2k −1 ( x) < 0 при
                                        < x < 1.
                                      2
   На рис. 1 изображены графики различных многочленов Бернулли.
        0,2
                                                                           B1(x)

       0,15


                                                                                    B3(x)
        0,1




       0,05
                                                                                            B5(x)
                                                                                                    B2(x)
         0
              1   3   5   7   9    11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51
                                                                                                    B6(x)
      -0,05

                                                                                        B4(x)
       -0,1




      -0,15




       -0,2



                                                      Рис. 1


                                                       17

Страницы