Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

16
При 0
=
x из (11) получается
kk
BB
22
)1(
=
; из (12) при 2≥k сле-
дует
1212
)1(
−−
−=
kk
BB . Каждый многочлен Бернулли, кроме )(
1
xB ,
на концах отрезка ]1,0[ принимает одинаковые значения:
.)0()1(
nnn
BBB
=
=
(13)
6. Характерное изменение многочленов Бернулли на отрезке ]1,0[.
Нам потребуются значения
)
2
1
(
n
B , которые можно вычислить с
помощью теоремы об умножении аргумента. Если в формуле (8) по-
ложить 2
=
m и
2
1
=x , то получим
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+=
−
)1()
2
1
(2)1(
1
nn
n
n
BBB
.
Но так как
nn
BB =)1( )1( >n , то при любом n
n
n
n
BB )21()
2
1
(
1+−
−−= . (14)
Вместо многочленов Бернулли будем использовать более удобные
для записи многочлены
nnn
BxBxy
−
=
)()( .
Вычислим сначала многочлен четного номера kn 2
=
. По форму-
ле (9) имеем
∑
−
=ν
ν−
ν
=−
2
0
,2
)()1(
k
k
kk
k
zFxy . (15)
Точки 0=x и 1=x являются нулями функции
)(xy
k
. Исследо-
вание функции (15) показывает, что при изменении
x
от 0
до
2
1
многочлен
)()1(
2
xy
k
k
− будет возрастать от 0 до
k
k
kkk
k
BBBy
2
12
222
)22()
2
1
()
2
1
()1(
+−
−=−=−
. Когда
x
изменяется
от
2
1
до 1, функция убывает до 0. 
   При x = 0 из (11) получается B2k (1) = B2k ; из (12) при k ≥ 2 сле-
дует B2k −1 (1) = − B2k −1 . Каждый многочлен Бернулли, кроме B1 ( x) ,
на концах отрезка [0,1] принимает одинаковые значения:
                                Bn (1) = Bn (0) = Bn .                 (13)
   6. Характерное изменение многочленов Бернулли на отрезке [0, 1] .
                                      1
  Нам потребуются значения Bn ( ) , которые можно вычислить с
                                      2
помощью теоремы об умножении аргумента. Если в формуле (8) по-
                  1
ложить m = 2 и x = , то получим
                  2
                                  ⎡     1          ⎤
                  Bn (1) = 2 n −1 ⎢ Bn ( ) + Bn (1)⎥ .
                                  ⎣     2          ⎦
   Но так как Bn (1) = Bn (n > 1) , то при любом n
                           1
                      Bn ( ) = −(1 − 2 − n +1 ) Bn .        (14)
                           2
   Вместо многочленов Бернулли будем использовать более удобные
для записи многочлены
                       y n ( x) = Bn ( x) − Bn .
   Вычислим сначала многочлен четного номера n = 2k . По форму-
ле (9) имеем
                                           k −2
                         (−1) k y 2k ( x) = ∑ Fk , ν z k − ν .         (15)
                                           ν =0
   Точки x = 0 и x = 1 являются нулями функции y k ( x) . Исследо-
вание функции (15) показывает, что при изменении x от 0
      1
до          многочлен (−1) k y 2k ( x) будет возрастать от 0 до
      2
             1         1
(−1) k y 2k ( ) = B2k ( ) − B2k = (2 − 2 − 2 k +1 ) B2k . Когда x изменяется
             2         2
   1
от до 1, функция убывает до 0.
   2


                                      16

Страницы