Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

15
Чтобы изучить поведение
)(xB
n
, нужно ввести новую перемен-
ную )1( xxz −= . Всякий многочлен )(xB
n
четного номера kn 2=
может быть разложен по степеням z :
ν−
−
=ν
ν
∑
=−−
k
k
kkk
k
zFBxB
2
0
,22
])([)1( , (9)
причем ,1
0,
=
k
F и ).2,,2,1(0
,
−
=
ν
>
ν
kF
k
K Всякий многочлен
Бернулли нечетного номера
12
−
=
kn
может быть представлен в
форме
∑
−
=ν
ν−−
ν−
−=−
2
0
1
,12
,)21()()1(
k
k
kk
k
zHxxB (10)
где все коэффициенты )2,,1,0(
,
−
=
ν
ν
kH
k
K положительные.
5. Свойство симметрии распределения значений )(xB
n
.
Рассмотрим точку
2
1
=x
на оси
x
. Точки
x
и
x
−
1
расположены
симметрично на единичном отрезке. Переменная )1( xxz
−
=
не из-
менит своего значения при замене
x
на x
−
1. Из этих рассуждений и
формулы (9) следует, что
).()1(
22
xBxB
kk
=
−
(11)
График многочлена )(
2
xB
k
является линией, симметричной отно-
сительно прямой
.
2
1
=x
В формуле (10) множитель
ν−−
−
=ν
ν
∑
1
2
0
,
k
k
k
zH принимает одинако-
вые значения в точках
x
и x
−
1. Множитель )21( x
−
при замене
x
на x−1 сохраняет абсолютную величину, но изменяет знак:
).()1(
1212
xBxB
kk −−
−
=
−
(12)
График многочлена )(
12
xB
k −
имеет центр симметрии в точке
.
2
1
=x 
  Чтобы изучить поведение Bn (x) , нужно ввести новую перемен-
ную z = x(1 − x) . Всякий многочлен Bn (x) четного номера n = 2k
может быть разложен по степеням z :
                                                 k −2
                    (−1) k [ B2 k ( x) − B2k ] = ∑ Fk , ν z k − ν ,        (9)
                                                 ν=0
причем Fk ,0 = 1, и Fk , ν > 0 (ν = 1, 2, K , k − 2). Всякий многочлен
Бернулли нечетного номера n = 2k − 1 может быть представлен в
форме
                                                   k −2
                   (−1) k B2k −1 ( x) = (1 − 2 x) ∑ H k , ν z k −1− ν ,   (10)
                                                   ν=0
где все коэффициенты H k , ν (ν = 0, 1, K , k − 2) положительные.
   5. Свойство симметрии распределения значений Bn (x) .
                         1
   Рассмотрим точку x =    на оси x . Точки x и 1 − x расположены
                         2
симметрично на единичном отрезке. Переменная z = x(1 − x) не из-
менит своего значения при замене x на 1 − x . Из этих рассуждений и
формулы (9) следует, что
                          B2k (1 − x) = B2k ( x).              (11)
   График многочлена B2k ( x) является линией, симметричной отно-
                   1
сительно прямой x = .
                   2
                                     k −2
   В формуле (10) множитель ∑ H k , ν z k −1− ν принимает одинако-
                                     ν =0
вые значения в точках x и 1 − x . Множитель (1 − 2 x) при замене x
на 1 − x сохраняет абсолютную величину, но изменяет знак:
                           B2k −1 (1 − x) = − B2 k −1 ( x).               (12)
  График многочлена B2 k −1 ( x) имеет центр симметрии в точке
   1
x= .
   2

                                       15

Страницы