Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 13 стр.

  Функция Bn (x) является многочленом степени n и называется
многочленом Бернулли. Получим формулу для многочлена Бернулли.
                                                                       ∞   x νt ν
Множитель e xt в формуле (1) заменим рядом ∑                                      и дробь
                                                                      ν = 0 ν!
     t
         заменим по формуле (1.2). Тогда получим тождество
 t
e −1
                 ∞  x ν t ν ∞ Bk k      ∞ B ( x)
                 ∑          ∑       t = ∑ n      t n , t < 2π.
                ν=0   ν !  k =0 k !    n=0 n!

     Сравнение коэффициентов при t n приводит к равенству

                  Bn ( x ) x n B0      x n −1 B1     B
                          =       +              +K + n .
                   n!        n!     ( n − 1)! 1!     n!
     После умножения на n! получается выражение для Bn (x) :
                                         n      n!
                       Bn ( x) = ∑                     Bn − k x k .                   (3)
                                     k = 0 k!( n − k )!

   Формула (3) показывает, что многочлен Бернулли есть многочлен,
старший член которого равен x n .
   Рассмотрим некоторые свойства многочленов Бернулли.
   1. Начальные значения многочленов Бернулли при x = 0 соответ-
ствуют числам Бернулли:
                                     Bn (0) = Bn .                                    (4)
      Это видно из формулы (3).
     2. Дифференцируемость и интегрируемость Bn (x) .
     Вычислим производную от производящей функции:
                                     t         ∞   Bn′ ( x) n
                         te xt               = ∑           t .
                                 t
                                 e −1         n = 0 n!




                                             13