Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 11 стр.

                                Лекция2
            Числа и многочлены Бернулли
                      1. Числа Бернулли
  Многочлены и числа Бернулли потребуются для построения фор-
мул Эйлера – Маклорена и других формул, служащих для увеличе-
ния точности приближенных квадратур.
  Числа Бернулли могут быть определены с помощью производя-
щей функции. Пусть t – комплексная переменная. Рассмотрим функ-
цию
                                                t
                                g (t ) =
                                       .                        (1)
                                            t
                                  e −1
   Точки t = 2kπi , где k – любое целое число, являются нулями зна-
менателя; все они простые. В круге t < 2π функция g (t ) регулярна
и может быть разложена в степенной ряд по степеням t :
                            t  B
                            = ∑ n t n , t < 2π .                  (2)
                        t       n!
                       e −1
  Числа Bn называются числами Бернулли.
                                                      ∞ tν
   Если в формуле (2) обе части умножить на e t − 1 = ∑      , то по-
                                                     ν −1 ν!
лучится следующее равенство:
                   ⎛ t t2 t3  ⎞ ∞
                   ⎜ + + + K ⎟ ∑ Bn t n = t .
                   ⎜ 1! 2! 3! ⎟ n = 0 n!
                   ⎝          ⎠
   Из формулы видно, что B0 = 1 , и для n = 2, 3, … должно выпол-
няться равенство
           B0     B1          B2             Bn −1
              +          +           +K +            =0
           n ! (n − 1)!1! (n − 2)!2!      1!(n − 1)!    .




                                       11