Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

9
∫
+
=
b
a
m
mm
dttftKxrI ,)()())((
)1(
где
∫
−
=
b
t
m
dx
m
tx
xptK .
!
)(
)()(
Таким образом, оценка погрешности примет вид
∫
∑
∫
=
++
−
−=
b
a
n
j
x
a
m
m
j
j
m
m
j
dttf
m
tx
CdttftKfR
1
)1()1(
.)(
!
)(
)()()(
Образуем новую функцию
⎩
⎨
⎧
∉
∈−
=−
+
].,[,0
];,[,
)(
j
jj
j
xat
xattx
tx
Используя новое обозначение, получим погрешность в виде
∫
+
=
b
f
v
dttftQfR ,)()()(
)1(
.
!
)(
)()(
1
∑
=
+
−
−=
n
j
m
j
jm
m
tx
CtKtQ (3)
Отсюда следует оценка погрешности
.)()(
)1(
C
m
b
a
fdttQfR
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
≤
∫
(4)
Если )(tQ не меняет знака на отрезке ],[ ba , то по теореме о сред-
нем из формулы (3) получаем
.),()()(
)1(
bafdttQtR
m
b
a
≤ζ≤ζ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
+
∫
(5)
Оценим погрешность формулы трапеций:
∫
−
=−
b
t
tb
dttx ,
2
)(
)(
2
.0))(()(
2
)(
2
)(
)(
2
≤−−=−
−
−
−
= tbtatb
abtb
tQ 
                                            b
                           I (rm ( x)) = ∫ K m (t ) f ( m +1) (t )dt ,
                                            a
                b                  m
                           (x − t)
где    K (t ) = ∫ p ( x)           dx.
                t             m!
   Таким образом, оценка погрешности примет вид
                                                              xj
                b
                               ( m +1)
                                                    n              (x j − t)m
       R( f ) = ∫ K m (t ) f             (t )dt − ∑ C j ∫                           f ( m +1) (t )dt.
                a                                   j =1       a        m!
   Образуем новую функцию
                                         ⎧ x j − t , t ∈ [a, x j ];
                            (x j − t)+ = ⎨
                                         ⎩ 0, t ∉ [a, x j ].
   Используя новое обозначение, получим погрешность в виде

                        b         (v +1)
                                                                                n         ( x j − t ) +m
           R( f ) =   ∫ f Q(t ) f        (t )dt ,       Q(t ) = K m (t ) − ∑ C j                           . (3)
                                                                             j =1              m!
   Отсюда следует оценка погрешности
                                   ⎛b          ⎞
                         R ( f ) ≤ ⎜ ∫ Q(t )dt ⎟ f ( m +1) .        (4)
                                   ⎜           ⎟          C
                                   ⎝a          ⎠
   Если Q(t ) не меняет знака на отрезке [a, b] , то по теореме о сред-
нем из формулы (3) получаем
                         ⎛b           ⎞
                 R(t ) = ⎜ ∫ Q(t ) dt ⎟ f ( m +1) (ζ ), a ≤ ζ ≤ b.                                          (5)
                         ⎜            ⎟
                         ⎝a           ⎠
   Оценим погрешность формулы трапеций:
                                  b
                                                         (b − t ) 2
                                   ∫ ( x − t )dt =          2
                                                                    ,
                                   t

                          (b − t ) 2 (b − a )
               Q (t ) =             −         (b − t ) = (a − t )(b − t ) ≤ 0.
                             2          2


                                                    9

Страницы