Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

7
Очевидно, что погрешность квадратурной формулы оценивается
C
mm
PfVPfRfR −≤−≤ )()(
при любом )(xP
m
, норма определяется по формуле
.)()(sup
],[
xPxfPf
m
ba
C
m
−=−
Возьмем нижнюю грань по всем многочленам степени
m , полу-
чим оценку
C
m
P
PfVfR
m
−≤ inf)( . (2)
Условие, что квадратура точна для многочлена нулевой степени,
имеет вид
∫
∑
=
===
b
a
n
j
j
CSdxxpI
1
.)1()()1(
При 0)( ≥xp и 0≥
j
C имеем
∑
∫
∑
==
==
n
j
b
a
j
n
j
j
dxxpCC
11
,)(
поэтому
∫
=
b
a
dxxpV )(2. По формуле (1) получаем оценку погрешно-
сти
C
m
b
a
PfdxxpfR −
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
≤
∫
)(2)(
.
Если в качестве )(xP
m
взять интерполяционный многочлен по
нулям многочлена Чебышева, то получим
C
m
m
m
C
m
f
m
ab
Pf
)1(
1
)!1(2
2
+
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
≤− . 
  Очевидно, что погрешность квадратурной формулы оценивается
                  R ( f ) ≤ R ( f − Pm ) ≤ V f − Pm C

при любом Pm (x) , норма определяется по формуле
                    f − Pm C = sup f ( x) − Pm ( x) .
                                   [ a, b]
  Возьмем нижнюю грань по всем многочленам степени m , полу-
чим оценку
                            R ( f ) ≤ V inf f − Pm C .          (2)
                                         P   m

  Условие, что квадратура точна для многочлена нулевой степени,
имеет вид
                            b                           n
                   I (1) = ∫ p ( x)dx = S (1) = ∑ C j .
                            a                           j =1

  При p( x) ≥ 0 и C j ≥ 0 имеем
                      n           n               b
                     ∑ C j = ∑ C j = ∫ p( x)dx,
                     j =1         j =1            a
              b
поэтому V = 2 ∫ p( x) dx . По формуле (1) получаем оценку погрешно-
              a
сти
                              ⎛b           ⎞
                   R ( f ) ≤ 2⎜ ∫ p ( x)dx ⎟ f − Pm C .
                              ⎜            ⎟
                              ⎝a           ⎠
   Если в качестве Pm (x) взять интерполяционный многочлен по
нулям многочлена Чебышева, то получим
                                                 m +1
                             ⎛b−a⎞
                             ⎜    ⎟
                             ⎝  2 ⎠
                  f − Pm C ≤             f ( m +1) .
                               m
                              2 (m + 1)!          C




                                         7

Страницы