Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

6
Подынтегральная функция часто приближается не многочленами,
а обобщенными многочленами, т. е. линейными комбинациями вида
∑
=
ϕ
m
j
jj
xb
0
)(,
где )(x
j
ϕ – линейно независимые функции. Методом неопределен-
ных коэффициентов строится квадратура.
Когда подынтегральную функцию можно представить в виде про-
изведения некоторой фиксированной функции p(x) и многочлена, то
квадратурная формула находится в виде
∫
∑
=
≈
b
a
n
j
jj
xFCdxxpxF
1
).()()(
(2)
Функцию )(xp называют весом, или весовой функцией; квадра-
турная формула в этом случае точна для всех многочленов степе-
ни
m .
2. Оценки погрешности квадратурной формулы
Нужно вычислить интеграл (2) в разд. 1. Если квадратура точна
для многочленов
)(xP
m
степени m , то
,0)()()(
=
−
=
mmm
PSPIPR
поэтому
)()()()(
mmm
PfRPRPfRfR
−
=
+
−
=
при любом многочлене степени m . Оценив в )( fR каждое слагае-
мое, получим оценку
∫
∑
≤+≤
=
b
a
ba
n
j
jj
xfVxfCdxxpxffR )(sup)()()()(
],[
1
, (1)
где
.)(
1
∑
∫
=
+=
n
j
j
b
a
CdxxpV
   Подынтегральная функция часто приближается не многочленами,
а обобщенными многочленами, т. е. линейными комбинациями вида
                                   m
                                   ∑ b j ϕ j ( x) ,
                                   j =0

где ϕ j (x) – линейно независимые функции. Методом неопределен-
ных коэффициентов строится квадратура.
   Когда подынтегральную функцию можно представить в виде про-
изведения некоторой фиксированной функции p(x) и многочлена, то
квадратурная формула находится в виде
                           b                         n
                           ∫ F ( x) p( x)dx ≈ ∑ C j F ( x j ).                 (2)
                           a                       j =1
   Функцию p (x) называют весом, или весовой функцией; квадра-
турная формула в этом случае точна для всех многочленов степе-
ни m .
      2. Оценки погрешности квадратурной формулы
   Нужно вычислить интеграл (2) в разд. 1. Если квадратура точна
для многочленов Pm (x) степени m , то
                      R ( Pm ) = I ( Pm ) − S ( Pm ) = 0,
поэтому
               R( f ) = R( f − Pm ) + R( Pm ) = R( f − Pm )
при любом многочлене степени m . Оценив в R ( f ) каждое слагае-
мое, получим оценку
                      b                        n
             R ( f ) ≤ ∫ f ( x) p ( x) dx + ∑ C j f ( x j ) ≤ V sup f ( x) ,   (1)
                      a                       j =1               [ a,b]
где
                               b                 n
                          V = ∫ p ( x) dx + ∑ C j .
                               a                j =1




                                          6

Страницы