Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

8
В конкретном случае для веса 1)(
≡
xp и формул прямоуголь-
ников, трапеций и Симпсона имеем )(2 abV
−
=
и
C
m
m
m
f
m
ab
fR
)1(
2
2
)!1(2
)(
)(
+
+
+
−
≤ .
Для формул прямоугольников и трапеций (
1
=
m
) погрешность
квадратурной формулы
C
f
ab
fR
′′
−
≤
8
)(
)(
3
;
для формулы Симпсона (
3
=
m
)
C
f
ab
fR
)4(
5
1536
)(
)(
−
≤ .
Можно получить и более точные формулы оценки погрешности.
Рассмотрим универсальный способ получения наиболее точных
оценок. В качестве многочлена
)(xP
m
возьмем сумму первых 1+m
членов разложения функции по формуле Тейлора в точке
0
x отрезка
],[ ba . Обозначим сумму – )(xP
m
, остаточный член – )(xr
m
, тогда
функция примет вид
).()()( xrxPxf
mm
+
=
Возьмем остаточный член в интегральной форме:
∫
+
−
=
x
a
m
m
m
dttf
m
tx
xr )(
!
)(
)(
)1(
.
Подставим эту оценку в интеграл
dxdttf
m
tx
xpxrI
b
a
m
x
a
m
m
∫∫
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
+
)(
!
)(
)())((
)1(
и сменим порядок интегрирования. Получим 
  В конкретном случае для веса p ( x) ≡ 1 и формул прямоуголь-
ников,  трапеций   и    Симпсона      имеем    V = 2(b − a)  и
           (b − a ) m + 2
R( f ) ≤                       f ( m +1)       .
               2m
           2        (m + 1)!               C

   Для формул прямоугольников и трапеций ( m = 1 ) погрешность
квадратурной формулы
                                                   (b − a ) 3
                                    R( f ) ≤                  f ′′ C ;
                                                       8
для формулы Симпсона ( m = 3 )
                             (b − a) 5 ( 4)
                                   R( f ) ≤
                                       f      .
                               1536         C
    Можно получить и более точные формулы оценки погрешности.
    Рассмотрим универсальный способ получения наиболее точных
оценок. В качестве многочлена Pm ( x) возьмем сумму первых m + 1
членов разложения функции по формуле Тейлора в точке x0 отрезка
[a, b] . Обозначим сумму – Pm (x) , остаточный член – rm (x) , тогда
функция примет вид
                                     f ( x) = Pm ( x) + rm ( x).
  Возьмем остаточный член в интегральной форме:
                                           x
                                             ( x − t ) m ( m +1)
                               rm ( x) = ∫              f        (t )dt .
                                           a     m!

  Подставим эту оценку в интеграл
                                    b      ⎛ x ( x − t ) m ( m +1)        ⎞
                      I (rm ( x)) = ∫ p( x)⎜ ∫            f        (t )dt ⎟dx
                                           ⎜                              ⎟
                                    a      ⎝ a m!                         ⎠
и сменим порядок интегрирования. Получим




                                                      8

Страницы