Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

5
Более сложные квадратурные формулы строятся методом неопре-
деленных коэффициентов:
∫
−
++−=≈
1
1
321
)1()0()1()()( fcfcfcfSdxxf .
Погрешность формулы
)()()(
1
1
fSdxxffR −=
∫
−
является линейным функционалом, и если подынтегральную функ-
цию представить в виде многочлена
∑
=
=
m
j
j
j
xaf
0
, то имеем
∑
=
=
m
j
j
j
xRafR
0
).()(
Нужно добиться выполнения равенств
0)(,,0)1( ==
l
xRR K при
возможно большем значении
l
. Нужно определить три неизвестных
постоянных
)3,2,1( =ic
i
, тогда получим систему уравнений
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=+−=
=+−−=
=++−=
.0)(
3
2
)(
,0)(0)(
,0)(2)1(
31
2
31
321
ccxR
ccxR
cccR
Решая эту систему, получаем
3
4
,
3
1
231
=== ccc , т. е. получили
квадратурную формулу (квадратуру), точную для многочленов треть-
ей степени, называемую формулой Симпсона.
В вычислениях определенного интеграла мы перешли от отрезка
],[ ba к отрезку ]1,1[− . Такой переход удобен тем, что арифметиче-
ские выкладки при построении квадратурной формулы оказываются
короче. 
   Более сложные квадратурные формулы строятся методом неопре-
деленных коэффициентов:
             1
             ∫ f ( x)dx ≈ S ( f ) = c1 f (−1) + c2 f (0) + c3 f (1) .
             −1
  Погрешность формулы
                                   1
                         R( f ) = ∫ f ( x) dx − S ( f )
                                  −1
является линейным функционалом, и если подынтегральную функ-
                                                m
цию представить в виде многочлена f = ∑ a j x j , то имеем
                                                j =0
                                       m
                            R( f ) = ∑ a j R( x j ).
                                       j =0

   Нужно добиться выполнения равенств R(1) = 0,K , R ( x l ) = 0 при
возможно большем значении l . Нужно определить три неизвестных
постоянных ci (i = 1, 2, 3) , тогда получим систему уравнений
                      ⎧
                      ⎪ R (1) = 2 − (c1 + c2 + c3 ) = 0,
                      ⎪
                      ⎨ R ( x) = 0 − (−c1 + c3 ) = 0,
                      ⎪       2     2
                      ⎪ R( x ) = − (c1 + c3 ) = 0.
                      ⎩             3
                                            1      4
    Решая эту систему, получаем c1 = c3 = , c2 = , т. е. получили
                                            3      3
квадратурную формулу (квадратуру), точную для многочленов треть-
ей степени, называемую формулой Симпсона.
    В вычислениях определенного интеграла мы перешли от отрезка
[a, b] к отрезку [−1, 1] . Такой переход удобен тем, что арифметиче-
ские выкладки при построении квадратурной формулы оказываются
короче.




                                        5

Страницы