Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

12
Это равенство позволяет последовательно вычислить все числа
Бернулли. Ему можно придать более удобную форму, если умножить
обе части на !n и прибавить в обеих частях
n
B
:
∑
=
=
−
n
k
nk
BB
knk
n
0
.
)!(!
!
Можно проверить, что все числа Бернулли с нечетными индекса-
ми, большими единицы, равны нулю:
.0,0
12
>
=
+
kB
k
(3)
Значения нескольких первых чисел Бернулли с четными индекса-
ми имеют вид
,
42
1
,
30
1
,
6
1
,
2
1
,1
64210
=−==−== BBBBB
.
6
7
,
2730
691
,
66
5
,
30
1
1412108
=−==−= BBBB
При вычислении чисел Бернулли четных номеров используется
формула
).4321(
2
)!2()1(
222
212
1
2
K++++
π
−
=
−−−
−
−
kkk
kk
k
k
k
B (4)
При больших
k
справедливо приближенное равенство
.)2()!2()1(2
21
2
kk
k
kB
−−
π−≈
2. Многочлены Бернулли
Определим многочлены Бернулли с помощью производящей
функции
.
1
),(
−
=
t
xt
e
t
etxg (1)
Функция регулярна в круге
π< 2t и может быть разложена в ряд
по степеням t :
∑
∞
=
=
0
.
!
)(
),(
n
n
n
t
n
xB
txg (2) 
   Это равенство позволяет последовательно вычислить все числа
Бернулли. Ему можно придать более удобную форму, если умножить
обе части на n! и прибавить в обеих частях Bn :
                            n        n!
                           ∑                 Bk = Bn .
                          k = 0 k!( n − k )!
   Можно проверить, что все числа Бернулли с нечетными индекса-
ми, большими единицы, равны нулю:
                          B2k +1 = 0, k > 0.                (3)
  Значения нескольких первых чисел Бернулли с четными индекса-
ми имеют вид
                        1      1         1        1
          B0 = 1, B1 = − , B2 = , B4 = − , B6 =      ,
                        2      6        30        42
                   1         5         691        7
           B8 = − , B10 = , B12 = −        , B14 = .
                   30       66        2730        6
  При вычислении чисел Бернулли четных номеров используется
формула
                      (−1) k −1 (2k )!
             B2 k =                      (1 + 2 − 2k + 3− 2k + 4 − 2k + K).   (4)
                         2 k −1 2 k
                  2    π
  При больших k справедливо приближенное равенство
                      B2k ≈ 2(−1) k −1 (2k )!(2π) −2k .

                 2. Многочлены Бернулли
  Определим многочлены Бернулли с помощью производящей
функции
                                           t
                      g ( x, t ) = e xt      .      (1)
                                         t
                                        e −1
   Функция регулярна в круге t < 2π и может быть разложена в ряд
по степеням t :
                                               ∞   Bn ( x) n
                                g ( x, t ) = ∑            t .                 (2)
                                              n = 0 n!


                                         12

Страницы