Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

14
Левая часть отличается от производящей функции только множи-
телем
t
, поэтому
∑
∞
=
+
=
−
0
1
.
!
)(
1
n
n
n
t
xt
t
n
xB
e
t
te (5)
Отсюда
).()(
1
xnBxB
nn −
=
′
(6)
Правило интегрирования многочленов Бернулли следует из фор-
мул (5) и (6):
∫
−
+=
x
nnn
dttBnBxB
0
1
.)()( (7)
3. Свойство преобразования аргумента многочлена Бернулли,
следующее из теоремы об умножении аргумента.
Пусть
m – любое положительное число
∑
∞
=
=
−
0
.
!
)(
1
n
n
n
t
mxt
t
n
mxB
e
t
e
С другой стороны, может быть получено разложение
=
−
+++
=
−
−
1
)1(1
1
)1(
mt
tmt
mxt
t
mxt
e
eemt
e
m
e
t
e
K
∑∑∑
−
=
−
=
∞
=
+
+
=
−
=
1
0
1
00
)(
.
!
)(
1
1
1
m
s
m
sn
n
n
n
mt
mt
m
s
x
t
n
m
m
s
xB
m
e
mte
m
Из двух последних разложений следует теорема об умножении
аргумента:
∑
−
=
−
+=
1
0
1
).()(
m
s
n
n
n
m
s
xBmmxB (8)
4. Свойство неоднозначного представления многочлена Бернулли,
вытекающее из теоремы о представлении многочленов
)(xB
n
. 
   Левая часть отличается от производящей функции только множи-
телем t , поэтому
                                                   t           ∞Bn ( x ) n +1
                               te xt                     = ∑            t .            (5)
                                               t
                                           e −1            n = 0 n!
  Отсюда
                                       Bn′ ( x) = nBn −1 ( x).                         (6)
  Правило интегрирования многочленов Бернулли следует из фор-
мул (5) и (6):
                                                                   x
                               Bn ( x) = Bn + n ∫ Bn −1 (t )dt.                        (7)
                                                                   0
   3. Свойство преобразования аргумента многочлена Бернулли,
следующее из теоремы об умножении аргумента.
    Пусть m – любое положительное число
                                           t               ∞   Bn (mx) n
                            e mxt                       = ∑           t .
                                       t                          n!
                       e −1                               n =0
  С другой стороны, может быть получено разложение
                        t         1 mxt mt (1 + e t + K + e ( m −1)t )
             e mxt            =     e                                  =
                     et − 1       m                e mt − 1
                              s                                              s
               m −1 e
                        (x+     ) mt                                B ( x + )m n
             1                m      mt                  1 m −1 ∞ n         m
           =    ∑                                      =    ∑ ∑                  tn.
             m s =0e mt − 1                              m s =0 n=0       n!
   Из двух последних разложений следует теорема об умножении
аргумента:
                                                                   m −1     s
                               Bn (mx) = m n −1 ∑ Bn ( x +                    ).       (8)
                                                                   s =0     m
  4. Свойство неоднозначного представления многочлена Бернулли,
вытекающее из теоремы о представлении многочленов Bn (x) .




                                                         14

Страницы