Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

21
Теорема 1. Если функция )(xf
ν
-кратно непрерывно дифферен-
цируема на отрезке ]1,0[, то при любом ]1,0[
∈
x имеет место равен-
ство
[
]
∫
∑
−−+=
−ν
=
−−
1
0
1
1
)1()1(
)0()1(
!
)(
)()(
k
kk
k
ff
k
xB
dttfxf
[
]
.)()()(
!
1
1
0
**)(
dtxBtxBtf
∫
νν
ν
−−
ν
− (1)
Доказательство
. Рассмотрим интеграл
∫
−
ν
=ρ
ν
ν
ν
1
0
*)(
.)()(
!
1
)( dttxBtfx
Считая
1>ν
, выполним интегрирование по частям:
[
]
.)0()1(
!
)(
1
)1()1(
−ν
−ν−ν
ν
ν
ρ+−
ν
=ρ ff
xB
Если выполнить это преобразование
1
−
ν
раз, то получим форму-
лу разложения (1).
Разложение по многочленам Бернулли
ν
-кратно непрерывно
дифференцируемой функции )(xf на произвольном конечном ин-
тервале ],[ ba получается из формулы (1) с помощью линейного пре-
образования аргумента:
[]
−−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+=
−−
−ν
=
−
∑
∫
)()(
!
)(
1
)(
)1()1(
1
1
1
afbf
k
h
ax
Bh
dttf
h
xf
kk
k
k
k
b
a
!
1
ν
−
−ν
h
,)(
**)(
dt
h
ax
B
h
tx
Btf
b
a
∫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
νν
ν
.abh
−
=
(2) 
   Теорема 1. Если функция f (x) ν -кратно непрерывно дифферен-
цируема на отрезке [0,1] , то при любом x ∈ [0,1] имеет место равен-
ство
                      1           ν −1 B ( x )
             f ( x) = ∫ f (t ) dt + ∑   k
                                            k!
                                                   [f   ( k −1)
                                                                                    ]
                                                                  (1) − f ( k −1) (0) −
                      0            k =1


                  −
                      1 1 (ν )
                         ∫
                      ν! 0
                                   [
                           f (t ) Bν* ( x − t ) − Bν* ( x) dt.    ]                           (1)

  Доказательство. Рассмотрим интеграл

                                       1 1 (ν)
                          ρ ν ( x) =      ∫ f (t ) Bν* ( x − t ) dt.
                                       ν! 0

  Считая ν > 1 , выполним интегрирование по частям:

                  ρν = ν
                        ν!
                             f    [
                      B ( x) (ν −1)
                                    (1) − f (ν −1) (0) + ρ ν −1.      ]
   Если выполнить это преобразование ν − 1 раз, то получим форму-
лу разложения (1).
   Разложение по многочленам Бернулли ν -кратно непрерывно
дифференцируемой функции f (x) на произвольном конечном ин-
тервале [a, b] получается из формулы (1) с помощью линейного пре-
образования аргумента:
                                           ⎛ x−a⎞
                                  h k −1Bk ⎜    ⎟
             1b           ν −1
     f ( x) = ∫ f (t )dt + ∑
             ha
                                                            [
                                           ⎝ h ⎠ f ( k −1) (b) − f ( k −1) (a) −
                                          k!
                                                                                          ]
                          k =1

             h ν −1 b (ν ) ⎡ * ⎛ x − t ⎞    * ⎛ x − a ⎞⎤
         −          ∫ f (t ) ⎢ Bν ⎜    ⎟ − Bν ⎜       ⎟⎥ dt , h = b − a.                      (2)
               ν! a          ⎣ ⎝ h ⎠          ⎝ h ⎠⎦




                                              21

Страницы