ВУЗ:
Составители:
23
Л е к ц и я 3
Квадратурные формулы и задачи,
связанные с ними
1. Квадратурные суммы
Рассматривается задача нахождения численного значения одно-
кратного интеграла. Геометрический смысл вычисления определен-
ного интеграла сводится к вычислению площади криволинейной
трапеции, или квадратуры. Рассмотрим методы построения квадра-
тур, которые позволяют приближенно вычислить интеграл с помо-
щью конечного числа значений интегрируемой функции и производ-
ных от нее.
Рассмотрим интеграл вида
∫
b
a
dxxfxp ;)()(
где ],[ ba – любой конечный отрезок на числовой оси; )(xf – произ-
вольная функция некоторого класса. Функция p(x) есть некоторая
фиксированная функция.
Простейшие квадратурные формулы, позволяющие приближенно
находить значения интеграла, задаются в форме линейной комбина-
ции нескольких значений функции
∫
∑
=
≈
b
a
n
k
kk
xfAdxxfxp
1
).()()( (1)
Сумма
∑
=
n
k
kk
xfA
1
)( называется квадратурной суммой. Равенства
вида (1) называются механическими квадратурами, поскольку им
легко можно придать механический смысл, т. е. они содержат 12
+n
параметров:
n узлов
k
x , n коэффициентов
k
A и число узлов n . Все
эти параметры нужно подобрать так, чтобы формула (1) давала дос-
таточно малую погрешность для всех функций )(xf из некоторого
класса функций
F
. При построении квадратурной формулы нужно
Лекция3 Квадратурные формулы и задачи, связанные с ними 1. Квадратурные суммы Рассматривается задача нахождения численного значения одно- кратного интеграла. Геометрический смысл вычисления определен- ного интеграла сводится к вычислению площади криволинейной трапеции, или квадратуры. Рассмотрим методы построения квадра- тур, которые позволяют приближенно вычислить интеграл с помо- щью конечного числа значений интегрируемой функции и производ- ных от нее. Рассмотрим интеграл вида b ∫ p( x) f ( x)dx; a где [a, b] – любой конечный отрезок на числовой оси; f (x) – произ- вольная функция некоторого класса. Функция p(x) есть некоторая фиксированная функция. Простейшие квадратурные формулы, позволяющие приближенно находить значения интеграла, задаются в форме линейной комбина- ции нескольких значений функции b n ∫ p( x) f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( xk ). (1) a k =1 n Сумма ∑ Ak f ( xk ) называется квадратурной суммой. Равенства k =1 вида (1) называются механическими квадратурами, поскольку им легко можно придать механический смысл, т. е. они содержат 2n + 1 параметров: n узлов xk , n коэффициентов Ak и число узлов n . Все эти параметры нужно подобрать так, чтобы формула (1) давала дос- таточно малую погрешность для всех функций f (x) из некоторого класса функций F . При построении квадратурной формулы нужно 23
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- …
- следующая ›
- последняя »