Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 23 стр.

                          Лекция3
         Квадратурные формулы и задачи,
                связанные с ними
                  1. Квадратурные суммы
   Рассматривается задача нахождения численного значения одно-
кратного интеграла. Геометрический смысл вычисления определен-
ного интеграла сводится к вычислению площади криволинейной
трапеции, или квадратуры. Рассмотрим методы построения квадра-
тур, которые позволяют приближенно вычислить интеграл с помо-
щью конечного числа значений интегрируемой функции и производ-
ных от нее.
   Рассмотрим интеграл вида
                           b
                            ∫ p( x) f ( x)dx;
                           a
где [a, b] – любой конечный отрезок на числовой оси; f (x) – произ-
вольная функция некоторого класса. Функция p(x) есть некоторая
фиксированная функция.
   Простейшие квадратурные формулы, позволяющие приближенно
находить значения интеграла, задаются в форме линейной комбина-
ции нескольких значений функции
                      b                   n
                      ∫ p( x) f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( xk ).         (1)
                      a                 k =1
           n
  Сумма ∑ Ak f ( xk ) называется квадратурной суммой. Равенства
          k =1
вида (1) называются механическими квадратурами, поскольку им
легко можно придать механический смысл, т. е. они содержат 2n + 1
параметров: n узлов xk , n коэффициентов Ak и число узлов n . Все
эти параметры нужно подобрать так, чтобы формула (1) давала дос-
таточно малую погрешность для всех функций f (x) из некоторого
класса функций F . При построении квадратурной формулы нужно


                                  23