Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

24
стремиться к тому, чтобы при заданном
n
постараться выбрать узлы
k
x
и веса
k
A
так, чтобы точность вычислений была наивысшей.
Рассмотрим различные способы задания узлов и весов.
1. Допустим, что нам задан класс
F
функций )(xf . Рассмотрим
систему функций
)(x
m
ω
),2,1( K
=
m (2)
таких, что произведения
)()( xxp
m
ω
суммируемы на ],[ ba . Образуем
линейную комбинацию
∑
=
ω=
n
k
kkn
xaxs
1
).()(
При вычислении интеграла
∫
b
a
pfdx , за «расстояние» между функ-
цией f и линейной комбинацией
n
s можно принять величину
.)(),( dxsfpsf
b
a
nn
∫
−=ρ (3)
Систему (3) будем считать полной в классе
F
. Это означает, что
для каждой функции Ff
∈
и любого 0>
ε
существует такая линей-
ная комбинация
n
s
, для которой
ε
<
ρ
),(
n
sf
.
Оценим погрешность квадратурной формулы
).,()(
n
b
a
n
b
a
b
a
n
sfdxsfpdzpspfdx ρ=−<−
∫∫∫
Из неравенства видно, что интеграл
∫
b
a
pfdx может быть вычислен
со сколь угодно высокой точностью, если интегрируемую функцию
заменить специально подобранной линейной комбинацией. Очевид-
но, что точность вычислений будет тем выше, чем большее число
первых функций
k
ω будем брать при образовании
n
s . Таким обра-
зом, приходим к выводу, что нужно стремиться выбором
k
x и
k
A 
стремиться к тому, чтобы при заданном n постараться выбрать узлы
xk и веса Ak так, чтобы точность вычислений была наивысшей.
   Рассмотрим различные способы задания узлов и весов.
   1. Допустим, что нам задан класс F функций f (x) . Рассмотрим
систему функций
                                ωm (x) (m = 1,2,K)                  (2)
таких, что произведения p ( x)ωm ( x) суммируемы на [a, b] . Образуем
линейную комбинацию
                                          n
                             s n ( x) = ∑ ak ωk ( x).
                                         k =1
                                      b
  При вычислении интеграла ∫ pfdx , за «расстояние» между функ-
                                      a
цией f и линейной комбинацией s n можно принять величину
                                          b
                           ρ( f , s n ) = ∫ p( f − s n ) dx.        (3)
                                          a
   Систему (3) будем считать полной в классе F . Это означает, что
для каждой функции f ∈ F и любого ε > 0 существует такая линей-
ная комбинация s n , для которой ρ( f , sn ) < ε .
  Оценим погрешность квадратурной формулы
              b        b             b
              ∫ pfdx − ∫ psn dz < ∫ p( f − sn ) dx = ρ( f , sn ).
              a        a             a
                                                 b
  Из неравенства видно, что интеграл ∫ pfdx может быть вычислен
                                                 a
со сколь угодно высокой точностью, если интегрируемую функцию
заменить специально подобранной линейной комбинацией. Очевид-
но, что точность вычислений будет тем выше, чем большее число
первых функций ωk будем брать при образовании s n . Таким обра-
зом, приходим к выводу, что нужно стремиться выбором xk и Ak


                                          24

Страницы