Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 26 стр.

   Можно ожидать, что квадратурная формула (1) будет иметь тем
меньшую погрешность для многих непрерывных на отрезке функ-
ций, чем выше будет ее алгебраическая степень точности.
   2. Пусть задан класс F функций f . Постараемся построить квад-
ратурную формулу (1) так, чтобы она была «наилучшей». Для каж-
дой функции f погрешность формулы (1) имеет значение
                            b             n
                    R ( f ) = ∫ pfdx − ∑ Ak f ( xk ) .
                            a            k =1
   За величину, характеризующую точность квадратурной формулы
для всех функций f , может быть взята верхняя грань R ( f ) :
                            R = sup R ( f ) .
                                    f

   Можно выбрать xk и Ak так, чтобы R имело наименьшее воз-
можное значение для всех функций f ∈ F . Такую формулу будем
называть формулой с наименьшей оценкой остатка в классе F .
   3. Рассмотренные два направления в проблеме выбора узлов и ве-
сов не являются единственными. Можно строить квадратурные фор-
мулы, подчиняя выбор узлов и весов другим целям. Нужно сделать
формулу (1) верной для функции, сохраняющей постоянное значение
на [a, b] . Это можно достичь только за счет выбора коэффициен-
тов Ak . Если потребовать, чтобы (1) была верной для f ≡ 1 , то по-
лучится следующее условие:
                                n         b
                                ∑ Ak = ∫ p( x)dx .              (4)
                             k =1         a
   Предположим, что значения функции f , входящие в квадратур-
ную сумму, находятся в результате измерений и содержат случайные
погрешности. Допустим, что все f ( xk ) получены в результате изме-
рений одинаковой точности.
   Значение квадратурной суммы также будет содержать случайную
погрешность. Поставим следующую задачу: так выбрать коэффици-



                                    26