Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 27 стр.

                                                   n
енты Ak , чтобы квадратурная сумма ∑ Ak f ( xk ) при выполнении
                                                  k =1
условия (4) имела наименьшую квадратичную погрешность. Извест-
но, что если аргументы                z1 ,K , z n линейной функции
 y = a1 z1 + K + an z n есть случайные величины, подчиняющиеся нор-
мальным законам распределения с одной и той же квадратичной по-
грешностью, и если коэффициенты линейной функции подчинены
          n
условию ∑ ak = 1 , то средняя квадратичная погрешность суммы бу-
         k =1
дет иметь наименьшее значение в том случае, когда все коэффициен-
ты равны между собой. Поэтому квадратурная формула с равными
коэффициентами
                   b
                   ∫ p( x) f ( x)dx ≈ C[ f ( x1 ) + K + f ( xn )]   (5)
                   a
будет иметь наименьшую квадратичную погрешность.
     2. Приближенное вычисление периодических
                     функций
   Рассмотрим конечный отрезок интегрирования [a, b] , который
всегда можно путем линейного преобразования привести к отрезку
[0,2π] . Исследуем интеграл вида
                                 2π
                                  ∫ f ( x)dx ,                      (1)
                                 0
где f (x) есть 2π -периодическая функция. Будем исследовать при-
ближенные квадратурные формулы вида
                           2π               n
                            ∫ f ( x) ≈ ∑ Ak f ( xk ).               (2)
                            0              k =1
  Узлы xk принадлежат отрезку 0 ≤ x < 2π.
   Для приближения периодических функций используют тригоно-
метрические многочлены:


                                      27